Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 132
Скачиваний: 0
ГЛАВА III
102
Величина погрешности, определенная по формуле (3.50),
более чем в 2 раза превышает величину баПоэтому с точки зрения увеличения точности оценок имеет смысл заменить регуляризованное уравнение идентификации на
Rawa— -------- —---------
2+ а (ц+А,)
втом случае, когда оператор R0 положительно определен, а опе ратор R1 ограничен.
Заменив неравенства (3.48) на обратные
1 |
да |
да |
|
Ya(a) |
|||
Yi(a) |
и проделав те же выкладки, что и при построении формулы
(3.50), находим
6а=||йУа— |
Xaj(f, да) |
(3.52) |
|
|
УР7 |
Здесь да — решение уравнения R0w = f.
В формулы (3.50) — (3.52) входят априори неизвестные эле менты даа и да. Используя неравенство
|Wg 1a2 |
(f, Wg) |
НЛ1Ы |
ll^all2 |
api+Po |
aPi+po |
a P l+P o |
получаем
цдаа1м
a Pl_bPo
Находя аналогичным образом оценку для нормы да, под ставляя полученные соотношения в выражения (3.50) — (3.52) и пользуясь неравенством Шварца, приходим к следующим апри орным оценкам погрешности регуляризованных решений урав нений идентификации:
_ Х а Щ _ . г |
( Х - ц ) а Ц / Ц |
(3.53) |
|
aPi~bPo |
2 (api+Po) |
||
|
|||
Рассмотрим теперь другой |
путь оценки погрешности, осно- |
||
103 |
ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
ванный на получении приближенных решений при помощи ме тода Бубнова— Галеркина. Из уравнений
Рап ( а 1 + Я г 1Яо)1Уап = РапЯгН-,
lRo)wa=:Ri lf
получаем
Wan— Wa= ( a I - i - R r lRo)-1(PGn—I ) R r i(f—RoWan).
Считая, что операторы PGn и |
коммутируют, после неслож |
ных преобразований находим |
|
[] (Pgn- I ) |
(f-RoWg") II |
баи< |
(3.54) |
a|3i-j-|30
На основании неравенства (3.19) можно оценить и первое слагаемое формулы (3.10). Таким образом, использование соот ношений (3.46), (3.50) — (3.54), (3.19) позволяет в зависимости от имеющейся информации оценить погрешности приближенных решений, построенных при помощи методов Ритца и Бубнова— Галеркина. Аналогичным образом строится оценка полной по грешности и для метода Галеркина—Петрова, но вследствие зависимости от собственных чисел матриц Грама координат ных последовательностей (формула 3.7) практическое исполь зование этой оценки затруднительно.
В ряде случаев определяется приближенное решение wa уравнения
RaWa— f6, |
(3.55) |
причем относительно элемента fe известно лишь, что life— foil Оценим норму разности приближенного решения уравнения (3.55) и элемента w0 из (3.8). Используя неравенство треуголь ника, находим
\\wan— |
]\wan—wa\+ \\wa—wa\]-j-\)wa—w0\\. |
(3.56) |
Теорема 3.12. Пусть оператор Ri ограничен, а оператор Ro положительно определен. Тогда имеют место следующие оценки полной погрешности приближенных решений задачи идентифи кации:
1) метод Ритца
\\wan—аУо1К |
\\RgWan — /б!1+6-)-Аа(||/й||+8) |
(3.57) |
|
|
aPi-l- Po |
если выполнены условия теоремы 3.10;
ГЛАВА III
|
|
104 |
2) метод Бубнова—Галеркина |
|
|
1|йап—ш0||г^ II (Рвп j ) (/б |
II 4 -6 -j-X a ( ||/б||-)~б) |
(3.58) |
oc|3i—J—(Зо |
|
|
если операторы PGn и Ri 1 коммутируют и .выполнены условия теоремы 3.7.
Доказательство. Второй член неравенства (3.56) допускает следующую оценку:
\Wа -W0 |
|
Z&a ^а|а2 |
|
a PlH~Po |
|
|
|
|
( W g ~ W g , / |
б " / о ) |
_______ б |
a Pi+Po |
"" oc|3i—(—(Зо Wa—Wa.ll, |
|
т. е. |
|
|
№а |
-Wa |
(3.59) |
|
|
a Pl~bPo |
Оценивая аналогичным способом первый член правой части формулы (3.56), получаем
|
llffa^aw—/fill |
\\Wgn — В Д х | | г $ ; |
(3.60) |
|
a Pl+ Po |
Выражение (3.57) теперь получается как следствие оценок
(3.59) , (3.60) и (3.53), а соотношение (3.58) вытекает из (3.53), (3.59) и (3.54), если в последнем провести очевидные изме нения обозначений.
Оценки (3.57) и (3.58) могут быть использованы и с целью выбора величин а и п.
Рассмотрим теперь возможности применения методов мате матической статистики для выбора числа членов в выражении (3.1). Пусть истинная и приближенная модели системы опре деляются следующими разложениями по полной в W коорди натной последовательности { ф , } :
y = A [ x ] w =
4= 1
(3.61)
р* = I WiA |>]фг,
105 |
ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
где Wi и Wi — соответственно точные и приближенные значения коэффициентов разложения функционального параметра в ряд
(3.1).
Если модель (3.61) истинна, то справедливо соотношение
М{\\у—P*I!y2} = min M{\\y—p\\Y2}, |
(3.62) |
{иц} |
|
где р — реакция произвольной модели.
Подставив (3.61) в (3.62) и определив градиент полученного выражения, находим, что модель (3.61) истинна, если
М {(А [х]< ?п )Ц у-р*)}= 0, |
(* = 1 ,2 ,...) . |
(3.63) |
Для проверки этой гипотезы строим статистику |
|
|
П |
|
|
(А [Х })щ )т (уу— У , |
ш И [ х,-]ф,-), |
|
2=1 |
|
|
(/== I, г; k= \ , s; |
s » n ) , |
(3.64) |
основанную на г измеренных' парах вход-выход и в зависимости от характера сведений о случайных процессах, происходящих в системе, применяем соответствующие критерии проверки гипотез (Стьюдента, знаков, Уилкоксона и т. п.) к статистике (3.64) [2.20]. Если в результате оказывается, что соотношение (3.63) выполняется на достаточно высоком уровне значимости, то счи таем модель (3.61) правильной. В противном случае последо вательно увеличиваем порядок модели до тех пор, пока гипо теза (3.63) не станет истинной.
Описанный метод является достаточно общим и может при меняться при любом варианте проекционного метода. В том случае, когда решение уравнения идентификации отыскивается при помощи метода Ритца, функционал потерь определяется вы ражением (2.11) при а = 0, а система измерения уравнениями (2.8), в которых помеха п2 распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и независима в отдельных измере ниях, удобно применять следующий подход для определения числа членов разложения. Учитывая, что в (3.1) как коорди натные функции, так и коэффициенты зависят от номера при ближения п, запишем вместо (3.1)
ГЛАВА III |
106 |
|
Подставляя (3.65) в функционал (2.11), считая для простоты записи выход системы одномерным и обозначив
Win |
' |
<Pln |
“ У1 |
w n = |
; фга = |
; |
у г= |
Wnn _ |
_ |
фп п - |
Уг |
|
|
~А [xi]' |
|
|
|
|
|
|
Frn = |
Л[хг]_ |
(фп) г, |
|
|
|
приходим к обычной системе нормальных уравнений относи тельно вектора wn:
(.Frn) TFrnwn= (Frn) Tyr.
Допустим сначала, что выполняется равенство
q)jni=cp;n2=q)j, |
( i = l , min {nu п2}), |
(3.66); |
т. е. при увеличении числа п координатные функции с номе рами, не превосходящими п, не меняются. Обозначим остаточ ную сумму квадратов через
хп= (уг—Frnwn) т(уг—Frnwn) ,
тогда в соответствии с результатами работы [2.36] мы прини маем гипотезу
если |
^tll+l” 2--- •••---2---------- 0, |
|
||
П2—П\ |
|
|
||
%П2 |
(nis^n2< r ), |
(3.67) |
||
%П2 |
г—п% FП2—П\т—пгЛ» |
|||
|
|
|||
и отвергаем ее в случае невыполнения этого условия. Здесь
Fn, m, | — значение квантиля |
распределения Фишера со степе |
||
нями свободы п я т и уровнем значимости |
|||
Обычно П2= п\ + \—п, и условие (3.67) записывается в более |
|||
простом виде: |
__1_ |
|
|
Хп-1— Хп |
F1,г—п,ь |
||
%п |
г—п |
||
|
|||
Обратимся к более общему случаю, когда (3.66) не выпол няется, т. е. мы осуществляем сравнение аппроксимаций по различным координатным системам. Пусть, кроме того, на век тор wn наложены некоторые линейные ограничения
Qnwn— zn,
где Qn я zn — известные (1Хп) матрица и ^-мерный вектор
(/s=n).