Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

Обозначим через хи достаточную сумму квадратов при услов­ ной минимизации функционала (2.11). Легко показать -[2.36],

выбираем в качестве искомого приближенного решения задачи идентификации ту из аппроксимаций, для которой значение уъ(п, I) максимально.

3.6. ИДЕНТИФИКАЦИЯ СИСТЕМЫ, ПОДВЕРЖЕННОЙ

ВОЗДЕЙСТВИЮ ОГРАНИЧЕННОЙ ПОМЕХИ

Описываемый ниже проекционный метод решения задачи иден­ тификации в отличие от остальных методов данной главы не требует построения уравнения (2.10) и основан на идеях работы

[3.13].

На протяжении всего параграфа будем предполагать, что процесс измерения описывается первыми двумя уравнениями (2.8), система имеет одномерный выход, а относительно реа­ лизаций n2i помехи п2 известно, что

Последнее выражение можно записать в виде системы двой­ ных неравенств

Если модель (2.7) адекватна исследуемой системе, то нера­ венства (3.69) непротиворечивы и определяют некоторую об­ ласть W aW , в которой находится истинное значение функцио­ нального параметра. Отметим, что в (3.68) можно учесть и априорные сведения о погрешности исходной модели, и возмож­ ные помехи измерения входного сигнала, и ошибки вычисления.

она ограничена, а пространство W функциональных параметров конечномерно), можно для построения устойчивого решения

оказываются затруднительными, поэтому более удобным явля­ ется приближенное преобразование системы неравенств (3.69) к линейной алгебраической системе путем подстановки в (3.69) проекционного разложения (3.1) при п ^ г . Используя обозна­ чения, введенные в конце предыдущего параграфа, запишем получающуюся систему линейных неравенств относительно ко­ эффициентов {w,} в матричном виде

где

б’- = [ 6 1 . . . 6г]г.

Вформуле (3.70) и последующих векторные неравенства считаются выполняющимися покомпонентно. Таким образом, мы преобразовали задачу идентификации к задаче определения допустимой области W^.W, для любых элементов которой вы­ полняются неравенства (3.70). Область W можно считать дове­

метр.

Преимуществами предлагаемого метода по сравнению с по­ строением и решением уравнения идентификации являются:

а) возможность построения доверительной области и про­ стота оценки погрешности приближенного решения;

б) необходимость минимальных сведений о помехе;

в) удобство уточнения модели путем перестройки области W при получении дополнительной экспериментальной информации;

г) корректность постановки задачи.

Остановимся на последнем пункте подробнее. Величина

6 = шах б* является параметром, обусловливающим устойчивость

1<|<г

решения. А именно, увеличение б приводит лишь к возрастанию

объема доверительной области при небольшом изменении кон­ фигурации последней. Уменьшение б приводит к нарушению условия (3.68), вследствие чего система неравенств (3.70) ста­ новится противоречивой. С другой стороны, выбор в качестве вектора wn произвольного элемента из доверительной области при достаточно больших значениях п и г мало влияет на вид приближенного значения функционального параметра. Таким образом, учет погрешности измерений при помощи параметра б позволяет получить устойчивое приближенное решение задачи идентификации.

В тех случаях, когда значение б выбрано правильно, а нера­ венства (3.70) не имеют решения, следует изменять число чле­ нов в аппроксимации (3.1) до тех пор, пока доверительная об­ ласть не станет отличной от пустого множества. Следовательно, мы можем связать порядок аппроксимации п с числом измерен­ ных реализаций г и погрешностью измерения б, причем /г->-оо при г—>~оо и 6^0. Ошибка аппроксимации в этом случае также стремится к нулю, т. е. предлагаемый способ решения задачи идентификации позволяет построить регуляризующий алго­ ритм.

Основную сложность в рассматриваемом методе представ­ ляет построение области 1F при больших значениях п и г, од­ нако разработанные к настоящему времени алгоритмы решения систем линейных неравенств при помощи цифровой и анало­ говой вычислительной техники [3.22, 3.26] позволяют преодолеть это затруднение. Упрощение методов решения достигается также при помощи идей метода группового учета аргументов

[3.11].

Допустим, что совокупность входных реализаций можно раз­ бить на классы близких в определенном смысле входных сиг­ налов. В качестве критерия близости можно выбрать норму разности реализаций, близость аргументов входных воздейст­

чения общности можно считать, что к первому классу отно­ сятся реализации с номерами от 1 до Г\, ко второму — реа­ лизации с индексами от г\ + \ до гу + г2 и т. д. Исходя из пред­ положения, что искомый функциональный параметр описыва­ ется для каждого из выделенных классов различными вы­

ражениями типа (3.65) при п ~ tii (i= l,s ) и сохраняя обозначе­ ния, использовавшиеся при записи неравенств (3.70), разбиваем последние на не связанные между собой подсистемы

ГЛАВА III

110'

щем случае проще, чем решение исходной системы (3.70). Осо­ бенно интересным является случай, когда в неравенствах (3.71)

ложенный частный алгоритм алгоритмом обобщенной кусочно­ постоянной аппроксимации по аналогии с обычной кусочно-пос­

тоянной аппроксимацией, широко используемой в задачах иден­ тификации [2.13].

Как следует из выражений (3.72), алгоритм обобщенной ку­ сочно-постоянной аппроксимации позволяет просто получать как доверительные границы для искомого функционального па­ раметра, так и конкретную точечную оценку величины w0n.