Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 134

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

I l l

 

ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

кции

y{ t) + n 2(t)

в

точках

ti = 0,5i

 

(i= l,8

)

при п = 2, 3,

4

в том

случае,

 

когда координатные функции явля­

 

ются

затухающими

 

экспонентами

 

cp;(0 = c^ °'5i' j

(t= 1,4).

 

 

 

На

рис.

8

построены

графики

 

функций

w0n(t)

(п= 1,4), коэффици­

 

енты которых являются одним из

 

возможных

решений

неравенств

 

(3.70), и точной импульсной переход­

 

ной функции. Рассчитанные кривые

 

хорошо воспроизводят искомую фун­

 

кцию,

причем

функции

w0n(t), по­ Рис . 7. Точный и измеренный вы­

строенные для

различных значений

ходные сигналы (пример 3.5).

 

коэффициентов

w,n из доверительной

 

области Ш, меняются незначительно, что говорит об устойчивости предложенного метода.

Разобьем теперь отрезок [0,4] на части и воспользуемся методом обоб­ щенной кусочно-постоянной аппроксимации на каждом из составляющих от­

резков [t—1 , (]

(г =

1 ,4), считая

функцию ф,‘ Р) Для

всех частей равной

te-f. Полученные

по

формулам

(3.72) доверительные

интервалы использо­

ваны для построения доверительной области для искомой импульсной пере­ ходной функции. На рис. 8 границы доверительной области изображены штрих-пунктирной линией. Таким образом, результаты примера подтверж­ дают возможность решения задачи идентификации при помощи предложен­ ного метода.

Мы изложили алгоритмы построения доверительной области Рассмотрим способы выбора какого-либо элемента из этой области в качестве точечной оценки функционального пара­

метра*.

1. Из системы неравенств (3.70) следует, что существует век­ тор о, для которого

Fnwn —

\

|ст|^б.

(3.73)

J

В качестве точечной оценки wn примем решение задачи квадратичного программирования

min (у—Fnwn) T(y—Fnwn)

(3-74)

Wn

слинейными ограничениями (3.73). Несложно показать, что в процессе решения задачи (3.73), (3.74) определяется значение вектора wn, совпадающее с полученным по методу наименьших

Индекс г в оставшейся части параграфа для простоты записи опускаем.

ГЛАВА III

112

квадратов. Однако в первом случае не требуется решать плохо

обусловленную систему уравнений метода наименьших квадра­ тов.

2. Часто в качестве точечной оценки вектора wn оказывается удобным выбирать элемент с минимальной нормой из области №. При этом требуется решить с учетом уравнений связи (3.73) задачу квадратичного программирования

min ((фп) тшя, ((pn) Twn) = min

(wn) TDnwn,

(3.75)

w "c W

wnczW

 

 

где /)« = Г dn ■■■din I

— матрица Грама системы элемен-

ldm ■■■dnnJ

t o b фь .. .

, фи ; da= (ф ;,

<p3- ) .

Считая координатную систему линейно-независимой и вводя дополнительные неизвестные [3.24], получим после несложных

преобразований решение задачи (3.75)

в следующем

виде:

 

w n =

(£)n)-i(/Tn)TG ^_|_6 sin V ) .

 

 

 

 

 

cos ViG (y-j-8 sin v) = 0 ,

(7=1, r),

 

 

(3.76)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 sin v = [6i sin Vi ... 6r sin vr] T\

 

 

 

' g n

■ ■ ■g l r

 

 

 

 

G— '

 

 

 

 

 

 

 

g r l

■ ■ . g r r

 

 

 

 

=

[Fn(Dn)-l(Fn) T]~t..

 

 

Решение системы (3.76) ми­

 

 

нимизирует функционал

(3.75)

 

 

при ограничениях (3.73),

если

 

 

на этом решении

положительно

 

 

определена матрица

 

 

 

 

 

h i ■

•

l\r

 

 

 

 

L =

 

 

 

 

 

 

 

lr 1•

• Irr

 

 

 

 

g i i W

COS* V

i -

^

g i } { y } +

Рис . 8 . Решения

задачи

идентифи­

 

 

 

 

i— k\

кации (пример 3 .5

.).

+ 6 j sin Vj)8i sin Vi,

 

113 ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ

т. е. если положительно определена вторая вариация функцио­ нала (3.75).

Если |г/|>б, т. е. абсолютные величины реализаций выход­ ного сигнала превышают оценку помехи, то решение с мини­ мальной нормой находится на границе области W и определя­ ется первым из соотношений (3.76) и условиями

 

sin Wi= ± l ;

 

 

sin Vi 2_| gij(«/H -6jSinyj)<0.

( i = l , r ) .

 

j=t

 

3.

Для упрощения вычислений

построение приближенной

точечной оценки w0n функционального параметра wQможно осу­ ществлять при помощи метода погружений (3.24]. С этой целью вводим функционал

Vv[w] = V0[w] + ~

ViVS\i

 

 

где

 

 

 

У0[ш ]= ^ 4

( y — A [ X i ] w ) z;

 

i—1

 

 

Vzi-i[w] = y i—bi—A [хг]ш ^0;

(3.78)

V2i [ w ] = —yi--bi+A[Xi\w^0,

(t = l, r);

 

1(x) — единичная функция.

В работе [3.24] показано, что при выполнении условия

4

------

— V0[w*],

(t= l,2 r; q i > 0) ■

на некотором w*<=W и удовлетворяющем условиям (3.78), эле­ мент wy, минимизирующий функционал (3.77), характеризуется следующими неравенствами:

Eo[o)v] ^ inf Vo[w]\

w<=W

(t — l,2r).

8 — 2733

ГЛАВА III

114

 

Выбрав для простоты записи v = maxv,, получаем следующее

Ki'<2r

уравнение для определения wv:

Г

У , A * { X i \ {4 ( у ~ А [Xi ] W v ) + V ( — 2 б г + I y — di —

*i—i

A [Xi] Wv|-j- |yi-j-&i—A [Xi] wv|)} = 0 .

Для решения этого уравнения удобно использовать методы последовательных приближений.

4. В качестве точечной оценки вектора wn в ряде случаев можно выбрать центр тяжести доверительной области W. Этот способ исследован в работе [3.19] применительно к задаче

Задэ—Рагаццини, поэтому на нем мы останавливаться не бу­ дем.

Г Л А В А IV

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Характерным для проекционных методов является то, что отыскание последующего приближения в общем случае не использует результатов предыдущих приближений. Поэтому обычно отыскивается лишь одно приближенное решение, по­ грешность которого затем подвергается апостериорному ана­ лизу.

В данной главе исследуются алгоритмы решения задачи идентификации при помощи метода последовательных прибли­ жений. Итерационные методы в отличие от проекционных существенно используют найденные »а предыдущих шагах приближения к искомому решению для построения следую­ щего более точного приближения. Область применения мето­ дов последовательных приближений весьма обширна — от не­ посредственного решения уравнений идентификации и миними­ зации функционалов потерь до определения значений коэф­ фициентов проекционных разложений из соответствующих конечномерных уравнений.

4.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА

Рассмотрим уравнение идентификации (2.10). Преобразуя его при помощи левого эквивалентного регуляризатора к каноничес­ кому фредгольмову уравнению и применяя алгоритм (1.20), по­ лучаем простейший вариант метода последовательных прибли­ жений для определения решения уравнения идентификации

wan—

RoWan~1)',

(4.1)

wa° = (aRi)-'!,

(n = 1 ,2 ,...),

 

где wan — значение функционального параметра на п-м шаге итерации.

Теорема 4.1. Допустим, что оператор Ri^Ro действует в ба­ наховом пространстве W и удовлетворяет условию ||£?i-1#oll<a.

Тогда процесс последовательных приближений (4.1)

при любом

f^ F сильно сходится к решению wa уравнения

(2.10) при

П—VOо.

 

8*

ГЛАВА IV

116

Доказательство. Для спектрального радиуса оператора

Rr'Ro

получаем следующую оценку:

-----------

i ^ ~

)

 

p(Ri lRo)

WRr'RoW

< 1.

/

a

a

a

 

 

Поэтому утверждение теоремы вытекает из условий сходимости итерационного процесса (1.20).

Пример 4.1. Рассмотрим

регуляризованное уравнение

Винера—Хопфа

для системы с конечной памятью [2.33] :

 

т

 

 

aw, ,(t)+ I" ш>а (т)

Rxx{t-x)dx=Ryx{t), ( Т < оо).

(4.2)

Легко показать; что из предположения об устойчивости идентифицируе­ мой системы следует, что wa (t)^Lv {0, Т), т. е.

Jт \wa(t) \vdt<oo, (lsgpgCoo).

о

Используя известные оценки для норм интегральных операторов, дейст­ вующих в пространстве Lp(0,T) [1.9], получаем, что итерационный процесс

RVx(t) — jт wan~i(x)Rxx(t—T)dx

wan(0 = --------------

 

 

^-------------------------------------

 

 

, (« =

1, 2, . . . )

(4.3)

сходится сильно в

пространстве Lq(0,T)

к

решению

wa(t) уравнения

(4.2),

если

 

 

 

 

 

 

 

 

г

„

т

, Е___

1

р-

1

 

 

/ [ /

 

 

Rxx(t —т) |. р- 1

dx\

 

dt

 

 

0

"-о

 

т

 

 

 

<a.

(4.4)

 

Г

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ [ / \Rxx(t-x) |vdt

 

p -i

dx

 

 

Здесь q — любое из значений p, при котором имеет место неравенство (4.4). Пусть, например, RXx(t—т) = е - Р|(~т|. Тогда соотношение (4.4) запи­

сывается в следующем виде:

I

2 —expl

р-

1

 

 

/

рр

 

dt-

 

 

 

Ш1П

р - 1

 

<а . (4.5)

/

2 — ехр( — §pt) — exp ( — [3рТ)

dt

 

Рр

 

 

 

 

Смотрите также файлы