Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 131

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

117

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Примем, что в уравнении (4.2) Т= 4, а (5=3. Тогда из условия (4.5) следует, что итерационный процесс (4.3) сходится в пространстве Ь2(0,Т) при а>1,29. Из рис. 9 видно, что в данном примере скорость сходимости велика, что объясняется большой величиной параметра а.

Однако

в

общем

случае

 

 

 

сходимость процесса (4.1) мо­

 

 

 

жет

оказаться

медленной или

 

 

 

вообще не иметь места. Это

 

 

 

объясняется тем, что на прак­

 

 

 

тике значение параметра регу­

 

 

 

ляризации а мало, и условие

 

 

 

теоремы 4.1 обычно не выпол­

 

 

 

няется.

Поэтому

необходимо

 

 

 

рассмотреть

общий итерацион­

 

 

 

ный процесс, сходящийся к ре­

 

 

 

шению

уравнения

(2.10)

при

 

 

 

слабых ограничениях на опера­

 

 

 

тор

Ra■

Исследуемый

далее

 

 

 

процесс последовательных при­

 

 

 

ближений

можно

применять и

 

 

 

к нерегуляризованному

урав­

 

 

 

нению идентификации. В связи

 

 

 

с этим в оставшейся части

 

 

 

главы индекс а в обозначениях

 

 

 

оператора и решения уравне­

 

 

 

ния (2.10)

опускаем, если при­

Р и с.

9. Последовательные прибли­

водимые

результаты

справед­

жения

и решение уравнения

(4.2)

ливы

одновременно в

регуля-

а = 2 ,

Rjx(t) =2,5 е~‘ —0,25 e~3i

(при­

ризованном

и

нерегуляризо-

мер 4.1).

 

 

 

 

ванном случаях.

Оператор R уравнения идентификации самосопряженный и неотрицательно определенный, поэтому в случае единственности решения уравнения (2.10) и ограниченности оператора R\ зна­ чение функционального параметра w может быть найдено ме­ тодом последовательных приближений (теорема 1.7).

Рассмотрим следующий итерационный процесс:

 

wn= A nwn~l-{-Bnf,

(п = 1 ,2 ,...).

(4.6)

Операторы Ап и Вп в общем случае зависят от номера

шага

и результатов предыдущих вычислений и связаны соотношением

An+ B nR = I .

(4.7)

Без ограничения общности выберем в качестве начального при­ ближения элемент

w °= B 0f = (/—Ао)В~1! — (/—A0)w,

(4.8)

ГЛАВА IV

 

118

где w — R-Ц — искомое решение.

 

 

Теорема 4.2. Итерационный

процесс (4.6)

в гильбертовом

пространстве сходится по норме к решению

уравнения (2.10),

если:

 

 

1) оператор

.. А0 сильно сходится к нулевому

оператору при п—^оо;

2)оператор R ограничен, [[/?|)< оо;

3)уравнение (2.10) имеет единственное решение w = R~1f.

Доказательство. Используя соотношения (4.7) и (4.8), пре­ образуем формулу (4.6)

wn= A nwn- 1+ B nf = A nwn- 1-ir (I—An)R -1f =

 

= A nwn- l-\- (I—An) w = A n(wn- 1—w) -f-ш.

 

Отсюда

 

wn—w = A n(wn~1—w) —

 

П

 

= A n A n-i(w n- 2—w) = . . . = — J J AiW.

(4.9)

г=0

 

Оценивая погрешность приближенного решения при помощи формулы (4.9), получаем

 

 

П

 

lim

\\wn—w\\= lim

Ц

A,w|]=0.

n-*-0Q

n-+oo

i= 0

 

Теорема доказана.

В зависимости от выбора операторов Ап и Вп процесс (4.6) переходит в один из алгоритмов, описанных в § 1.6.

1. При 5 „ = |3, An= I — $R получим алгоритм метода простой итерации

w n = ( l — ptf)o>n-i+pf,

( ц = 1 , 2 , ... ) ,

сходящийся при 0 < р <

2

положительное число).

(Р —

т

2. Определим для функций q (Я) из некоторого класса фун­ кций Q оператор-функцию q{R) от самосопряженного оператора R при помощи известных соотношений [1.1]. Учитывая, что спектральный радиус самосопряженного оператора совпадает с его нормой [1.1], выберем функцию q*(X)^Q такую, что

p [ I - q ' { R ) R ] = \ \ I - q * ( R ) R \ \ =

= min max |1—^(А)А,|.

119 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Здесь т и М — нижняя и верхняя границы спектра оператора R (т > 0).

Используя найденную функцию q*(K), построим следующий

итерационный процесс:

 

 

wn= w n~l+q*{R) (f—Rwn~l),

(n = l, 2 ,... )•

(4.10)

t

 

 

Из приведенных рассуждений следует, что процесс (4.10)

является частным случаем процесса

(4.6) при Bn= q* (R), Ап~

= l — q*(R)R и имеет максимальную скорость сходимости среди всех итерационных процессов подобного вида, построенных для функций из класса Q.

В частности, в том случае, когда класс Q состоит из поли­ номов вида

k - t

q (b )= X dw, i=l

функция q*(X) определяется из теоремы 1.8 при помощи полино­ мов Чебышева:

2А—М—ш Th( М—т )

А,

т (

м+ т

\

г—0

 

к\

М—т

I

 

Соотношение (4.10) в этом случае принимает удобную форму k-i

wn= wn~i-)- ^ d*iRi(f—Rwn~i) ,

( n = l , 2 , ... ).

Например, при k=\ имеем [1.27]

 

2

^ > а ПРИ ^= 2 зна­

d*0= ^

чения коэффициентов следующие:

 

 

 

 

_

8 (М +т)

=

_________ 8_______

0

(m+.M)2+4m.M ’

1

( т + М )2+4тЛ Г

Скорости сходимости этих процессов соответствуют геометри-

 

 

 

М —т

{М — т)2

ческим прогрессиям со знаменателями—-г~я-------и -—

-— г-;.

F к

 

 

М + т (т + М )2 + 4тМ

3. Если в (4.6) примем, что

 

 

 

 

 

(Ra(f—Rwn~l), f—Rw71-!)

 

 

(Ra+1(f—Rwn-1) , f—Rwn_1)

 

 

(n— 1, 2,...;

a^t — 1),

 

 

ГЛАВА IV

120

то процесс (4.6) перейдет в один из а-процессов (1.24), сходя­ щихся с быстротой геометрической прогрессии со знаменателем

М— т

М+ т

4.Отдельно остановимся на возможностях применения ме­ тода минимальных ошибок' [1.36, 4.18] для решения уравнения идентификации. Допустим, что определен оператор F, удовле­ творяющий соотношениям

R=F*F; f=F*g,

(4.11)

где элемент g принадлежит банахову пространству G, а опера­ тор F действует из гильбертова пространства W в простран­ ство G.

Например, в случае решения нерегуляризованного уравне­ ния идентификации оператор F легко определяется, если изве­ стны уравнения формирующего фильтра [2.13, 2.25], а при ис­ пользовании функционала потерь (2.11) при а = 0 можно пока­ зать, что

_ A [xi]

У1

;

g =

А [хг]

Уг

Метод минимальных ошибок на основании соотношений

(4.11) записывается в виде

 

wn= w n~i-

llff- -Fwn~lНо2

(,f—Rwп~1), (п— 1,2,...)

[\ f- R w n - ^

 

 

и оказывается особенно удобным при минимизации нерегуляри­ зованного функционала (2.11).

Описанные частные случаи представляют собой наиболее

употребительные варианты итерационного

процесса

(4.6),

но

не исчерпывают сферу его возможного применения.

 

 

 

Пример 4.2.

Рассмотрим

нерегуляризованное

интегральное

уравнение

идентификации

стационарной

линейной системы в

переходном

режиме

 

 

Jt w(x)RXx{t—х —Q)dr=Ryx(t, 0 ), (O ^ 0

s£^).

(4

.1

2)

о

 

 

 

 

 

 

 

Пусть в (4.12) #**(0)=е-|9|;

Ryx(t, 0) = 2 -6 0 -1 -6 -0 ; t = l.

Выбрав

в

качестве пространства W гильбертово пространство L2 (0 , 1 ), определим норму

интегрального оператора

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£.2(0>1)=

/ /

е—2 ]1 -т —6 |dxdQ= 0 ,7 5 .3

 

 

 

О0

Смотрите также файлы