Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 128

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

121

 

 

 

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ

Применим для

 

решения

уравнения

(4.12) метод простой итерации.

Выбрав

параметр (5 = 2 < -

2

= 2 ,6 6, получим следующий итерационный процесс:

Ш\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а>°(0) =2(2 —еб-1—е-9);

шг,(О)=и>п- 1(0) +

 

+2

2 _ ee -i_e-e-

/

‘ (т)

e_ l‘ “ T-0lrfT (• (ге= 1, 2 , . . .

).

 

 

 

 

 

!■

 

Быстрая сходимость последовательных приближений (рис. 10) указывает на эффективность использования итерационных методов для решения за­ дачи идентификации.

В заключение данного параграфа получим оценку погреш­ ности алгоритма (4.6), позволяющую просто оценивать точность решения на каждом шаге итерации. Допустим, что известны оценки для норм последовательностей операторов {ЛД и {ВД:

Ш | < а 4; M s -S h ;

(t = 0, 1,2, ... ).

Используя условие 1 тео­ ремы 4.2, получим, что для сходимости процесса (4.6) достаточно, чтобы

П

lim J J щ = 0

(4.13)

п->оо г=0

и выполнялись условия 2 и 3 этой теоремы. Например, если, начиная с некоторого номера 10, для всех i^U, имеет место неравенство a%^q< 1, то условие (4.13) заведомо выполняется.

Для построения оценки погрешности преобразуем соотношение (4.9)

wn—w = A n(wn~i—w) =

==An(wn~1—йУ” )-(-

+ A n(wn—w),

(n = 1,2,...).

(4.14)

Допустим, ЧТО

f l n < l .

Рис . 10. Точное решение ш(0) = 1(9) и результаты реализации итерационного процесса (пример 4.2).

ГЛАВА IV

 

122

Тогда оператор (1—Ап) имеет обратный [1.27], причем

 

II (/ - Л „ ) - Ч ! < —1 ’ Uft •

 

Используя этот результат и соотношение (4.14),

получаем

||ши—w\\=

|(I—An)~iA „(w n- i—wn) ||^

 

gC

° п— Цйу"- 1—шп||.

(4.15)

 

1—ап

 

Оценка (4.15) является апостериорной в том смысле, что она зависит от элемента wn. В том случае, когда оценка погреш­ ности используется для принятия решения о том, требуется ли проводить очередной шаг итерации, можно воспользоваться априорной оценкой, не зависящей от элемента wn и построен­ ной следующим образом. Легко показать, что

wn~1—wn — Bn(f—Rwn_1) .

Подставив это выражение в (4.15), после несложных преобра­ зований получаем искомый результат:

| | ш "-а > | | < -р ^ -| | /-/?ш "-‘ ||.

(4.16)

i

CLn

 

Полученные выражения (4.15) и (4.16) особенно удобны в том случае, когда известны нижняя т и верхняя М границы спектра

оператора R, а оператор Вп определяет операцию умножения

2

на некоторое число Ьп, 0 < 6 П< ‘— ■ Учитывая, что оператор R

самосопряженный, находим

ап— max

|1—ЬпХ\

1—bntn,

если 0< Ь п<

 

 

 

М-\-т

 

 

 

bnM— 1,

 

2

2

 

 

 

если ——----- <lbn<l

 

 

 

 

M-j-m

М '

Следовательно,

 

 

 

 

апЬп

__

т

если 0 < 6 „ < ■М-{-т

’

1—ап

~~

(ЬпМ-1)

•, если

2

.

2

 

 

2—ЬпМ

МА~гп

< Ь п<

М

123

•МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Подставив полученные соотношения в формулы (4.15) и (4.16), получим простые выражения для оценки погрешности

2

итерационного процесса. Обе оценки достигают при Ьп= м + т '

минимума, равного

 

 

\\wn—w\\:

М—т

II wП—1_ wn\■

2т

 

 

М—т

т(М-\-т) II/- Rwn- l\\.

4.2.ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕННОГО

ПРОЦЕССА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

При практическом применении точная реализация итерацион­ ного процесса невозможна. Это объясняется как неточностью экспериментальных данных, приводящей к ошибкам задания оператора и свободного члена уравнения (2.10), так и погреш­ ностями вычислительной процедуры, соответствующей алгоритму

(4.6).

Допустим, что вместо точных значений R и f известны их оценки

T =R + A R , h= f+Af,

а процесс последовательных приближений определяется следую­ щим выражением:

ип= Cnun~l+'Bnh+ АЛ

Д„.

(4.17)

Здесь AR и Af — погрешности задания оператора R и свобод­ ного члена f уравнения (2.10);

ип — значение процесса (4.17) на п-м шаге; Сп =1 — ВпТ+ АСп — оператор итерационного алгоритма;

АСп — линейный оператор, характеризующий погрешность реализации оператора Сп\

ААп — линейный оператор, обусловленный ошибками пре­ образования элемента м”-1;

Аи — аддитивная погрешность вычислений; Вп — оператор, используемый в процессе (4.6).

Итерационный процесс (4.17) представляет собой общую схему реализации метода последовательных приближений с воз­ мущениями для решения линейных операторных уравнений с самосопряженным положительно определенным оператором, действующим в гильбертовом пространстве W.

ГЛАВА IV

124

Преобразуем уравнение (4.17) с учетом введенных обозна­ чений, считая, что операторное уравнение

Tu= h

(4.18)

имеет единственное решение и:

ип = Спип- 1+ В пк +ААпип- 1+ А п =

—(Cn-f-ДАП) ип 1-)- (/—Си-(-АСп) Т lh-\-An —

==(Сп~\~ААп') ип~1-(- (/-)-АС„—Сп) и-\-Ап-

Отсюда находим

 

 

 

 

 

 

ип

и = (Сп+АЛп) (wn—1

и) -j- (АСте-(-АЛп) и - \ ~ А п = =

 

 

»

»

 

 

 

(4-19)

 

—

1

(C,--j-AA,-) [(AAft+ACfe)u+Aft].

 

 

k~0

i=h+l

 

 

 

 

При выводе формулы (4.18)

мы считали, что

 

 

П

 

U o — (/-)-АСо-|-ААо) м+До;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П (С4+АЛ0= { (Си+ААп) ... (Cfe+i+AAft+i),

k < n ;

i=k+1

 

 

 

I,

 

k=

n.

Теорема 4.3. Допустим, что:

1) пространство

W гильбер­

тово;

2) оператор Т ограничен;

3) уравнение (4.18) имеет един­

ственное решение; 4) возмущения итерационного

процесса

(4.17)

ограничены по норме.

 

алгоритма (4.17) к решению

Тогда для сильной сходимости

возмущенного уравнения идентификации (4.18) достаточно, что-

71

П

бы последовательность операторов Dn—

f~( (Ci + AA,) X

k= 0 i=k+l

X (AAk + ACfc) сходилась

к нулевому оператору сильно, а по­

следовательность Д п —

{” [

(Ci + AAj)

по норме.

k-О г=А+1

 

Доказательство. Из условия теоремы следует, что операторы,

входящие в (4.19), ограничены и

 

шах

||Дй1|<оо.

 

125 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Из формулы (4.19) получаем оценку

 

11ип-и1К1|Яяы|| + 1|£п11 max

IIAftll.

fc=0,l,2,...

 

Правая часть этого неравенства стремится

к 0 при п—*-оо, что

и доказывает теорему.

 

Таким образом, сходимость реального итерационного про­ цесса существенным образом зависит от погрешностей вычисле­ ний, причем в том случае, когда одна из последовательностей {Dn} или {£ „} не удовлетворяет условиям теоремы 4.3, ите­ рационный процесс (4.17) становится неустойчивым в том смысле, что результаты вычислений могут сколь угодно отли­ чаться от искомого точного решения. Для более подробного анализа этого явления допустим, что все операторы и элементы, входящие в (4.17), ограничены по норме известными величи­ нами:

11С<1Кс{;

||ДЛ4||^ба»; НАСНКбсс

 

П

||Аг1Кбг;

<?„= JJ (с,+ ба;); <7о=1.

 

г = 0

Используя введенные обозначения, получим условия устойчи­ вости и сходимости итерационного процесса (4.17), удобные при практическом анализе.

Теорема 4.4. Пусть числовые последовательности {ба,}, {бс,} и {6г} таковы, что

lim б а ,=

lim бсг=

Пш бг=0.

(4.20)

г— о

i—>oo

i->oо

 

Пусть, кроме того, ограниченный оператор Cj выбирается таким образом, что, начиная с некоторого номера i0,

c ^ q < 1, (t> t0).

Тогда возмущенный итерационный процесс (4.17) сходится к решению уравнения (4.18), если выполнены условия 1—3 тео­ ремы 4.3.

Доказательство. Из формулы (4.19) следует, что

\ип—и (бйй+бСй) ||u||-j-

й=О Як

й=0 Як

{ П = 0 , 1 , 2 , . . . ) .

(4.21)

Смотрите также файлы