Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 127
Скачиваний: 0
ГЛАВА IV |
|
|
|
126 |
Рассмотрим последовательность положительных чисел |
||||
|
dn— |
— (6aft+ 6 cft). |
|
|
|
|
Ь=П qk |
|
|
Из сходимости последовательностей {ба,} и {бсу} |
следует,, |
|||
что для |
любого числа 0 < е < 1 — q найдется |
такое натуральное |
||
число I, |
что для всех i'5*/ |
имеем бЯг+ б с ^ е . |
Очевидно, |
что при |
выполнении условия п ^ т = max {/, i0} имеет место соотношение
Oi + 6ans5<7+ 8<l.
Используя полученные результаты, легко показать, что
П
d n = ^ L |
d m-\-qn |
А ак+ дСк . < ^ ( д + в ) п - тс1т + |
Чт |
h=m+l |
Уk |
+е X, (<7+s)"~fe< (q + e)n-mdm+lQ~^+E)”..m] .
ft=m+1 l - q —г
Отсюда вследствие произвольности e и ограниченности dm по лучаем, что
lim dn — 0.
n->oo
Аналогичным образом находим, что второй член неравенства (4.21) также стремится к нулю при п—>-оо. Теорема доказана.
Следовательно, мы показали, что итерационный метод ре шения линейных операторных уравнений в гильбертовом про странстве обладает свойством компенсации линейных ошибок вычислений, если последние сходятся к нулю по норме при возрастании номера итерации.
В ряде случаев оказывается сложным проверить выполнение условия (4.20) или последнее вовсе не имеет места. В подоб ных ситуациях обычно считают, что погрешности вычислений ограничены по норме некоторыми числами, не зависящими от номера шага, т. е.
6аг^ 6 а < 1 ; |
бсг-^ бс; |
6js^6. |
(4.22) |
Используя (4.19), получаем для рассматриваемого случая сле дующую оценку погрешности:
ПП
\\ип—и\\<^ L П (с<+6а)[(6а+6с)||и|1+6). (4.23)
k=0 1
Теорема 4.5. Допустим, что выполнены условия 1—3 тео ремы 4.3 и неравенства (4.22). Тогда итерационный процесс
127 |
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ |
(4.17) устойчив по отношению к погрешностям вычислений, если для всех i ^ m выполняется соотношение
C i^q<.\—Ьа.
Доказательство. Считая для простоты записи т —1 и исполь зуя формулу (4.23), находим
1 — (a4-ba"\n+i |
[(ба+бс) ||и||+б]. |
(4.24) |
- хЦ ^ а |
При неограниченном увеличении п получаем из (4.24) соотно шение, доказывающее теорему
Пт |м"— |
(ба+бс) ||«||+б |
|
1—q—Ьа |
||
п-+оо |
Используя методику получения выражения (4.15), приходим к следующей оценке для погрешности итерационного процесса
(4.17) (с„ + бс„<1): |
|
Си-фбап |
|
{ |
|
||
1 |
С'хi |
\\ип~1—ип1+ |
|
|
бСл |
||
Iип—и =£7 min |
-j- (бсп+ ба „) ||ыи||+б„; |
||
|
Сп~\-Ьсп |
||
|
|
||
|
1 |
Сп |
ип~1—ип1+ |
|
бCyi |
||
~Ь (6Cn-j-6fln) ||ц™ 1 П—бг;.
Рассмотрим в заключение данного параграфа вопросы схо димости и устойчивости полученного при помощи итерацион ного метода приближенного решения регуляризованного урав нения идентификации к точному решению задачи.
Теорема 4.6. Допустим, что в качестве уравнения (4.18) рас сматривается возмущенное регуляризованное уравнение иденти фикации (3.55). Тогда итерационный процесс (4.17) устойчив по отношению к погрешностям вычислений и возмущениям точ ного уравнения (3.8) и при специальном выборе значения пара метра регуляризации а сходится к решению уравнения (3.8), если 1) пг+оо, 2) возмущения и погрешности вычислений по норме стремятся к 0; 3) выполнены условия одной из теорем
4.3, 4.4 или 4.5.
Доказательство. Воспользуемся неравенством (3.56), которое
в обозначениях данной главы |
запишется в следующем |
виде*: |
II иап—о>0|^ II иап—иа|+ |
1|ua—wa|+11wa—Wo\\. |
(4.25) |
* В связи с тем что рассматривается регуляризованное уравнение иден тификации, мы добавили индекс а в обозначения переменных.
ГЛАВА IV |
128 |
Пусть для определенности выполнены условия теоремы 4.4. Используя выражение (4.24) для оценки первого члена нера венства (4.25), выражение (3.59) для оценки второго члена и пользуясь методом доказательства теоремы 3.3, приходим к утверждению настоящей теоремы.
Полученный результат показывает, что метод последователь ных приближений в сочетании с методом регуляризации позво ляет строить устойчивые приближенные алгоритмы решения задачи идентификации.
Мы не будем исследовать другие условия сходимости и устойчивости итерационных процессов, так как, во-первых, рас смотренные выше случаи охватывают широкий круг задач, а, во-вторых, практически возможно осуществление лишь конеч ного числа итераций. Поэтому весьма важными являются пред лагаемые ниже задачи построения оценок погрешности в случае конечности процесса последовательных приближений и выбора рационального числа шагов.
4.3.ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ
МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА ИТЕРАЦИЙ
Получим выражение для оценки погрешности итерационного процесса в зависимости от числа итераций п. С этой целью преобразуем формулу (4.17), исключив из нее результаты про межуточных вычислений.
ип = С п и п ~ ^ - \ - В п Н - \ - А А п и п ~ ^ -\ -А п = =
—(Сп-\~AAn) (Сп—1+ДЛ„—i) ип~2-\- [ (Сп-\-ААп) Bn—i-\-Bn\h-\-
|
I Ап | {Сп-\-ААп) Д„_1= |
... = |
п |
п |
|
= X , |
И (Ci+AAi) (Bhh+Ak), |
( п = 1, 2, ...) . (4.26) |
0 |
i=h+1 |
|
Допустим, что нормы возмущений и ошибок вычислений малы в том смысле, что в выражении (4.26) можно пренебречь произведениями операторов погрешностей и величинами воз действий этих операторов на сами погрешности. Легко показать, что имеют место следующие соотношения:
Сп= 1 Вп (7^—|—Д/?) АСп= Ап-\-АСп—BnAR\
пп
X П а&»./■
h—0 г=А+1
129 |
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ |
Преобразуя выражение (4.26) с учетом этих формул и пред положения о малости норм возмущений, получаем
П |
П |
|
ип^ wn-{- I f |
п /^(BfcAf-f-Afe) + |
|
ft=0 " |
i—k+1 |
|
п |
|
|
+ X j а п *•*Ar+iErAr-1... Ak+lBhf ], |
(4.27) |
|
r=ft+l |
|
|
где
Ет= ДЛГ-j-ACr—BrAR.
Подставив в построенное соотношение выражение для шп из формулы (4.9) и обозначив
П
sn= Д ай | | £ г 1 К е г ; | | / | | ^ ф ;
2=0
l|Af||<6cp; |МК<о,
после несложных выкладок получаем искомую оценку погреш ности
М ф + 6 ь + 6 йф ^
\ип—Ш||<5П\(0+ ^ А=0
r = h + 1 *=gi(n). (4.28)'
S h
Формула (4.28) позволяет рассчитать рациональное число итераций щ из условия
пi = min gi(ti).
п—1,2,...
Допустим, что выполнены следующие условия:
В этом случае оценка (4.18) записывается в более простом виде
где |
|]««—W\\s^an(—g2ltl-\-g22) +g23= gz{n), |
(4.29) |
||
bye |
а(6бф+6) |
bye |
|
|
|
|
|||
gzi- |
g21=au> |
0 —a) |
W - W |
; |
T ^ a ' |
||||
|
bye9 |
Ь6фф-6 |
|
|
|
g23 |
1—a |
|
|
|
|
|
|
|
9 — 2733
ГЛАВА IV |
|
130 |
Легко показать, что функция g2{n) ПРИ а¥-1 имеет единст |
||
венный минимум в точке |
|
|
П2=_S22. |
_ |
1 |
2 g2i |
|
In а |
равный
g2(fiz)= g 2 3 + a n* - ~ la-.
Выбрав ближайшее к найденному значению п2 целое число пу определяем рациональное число итераций в том случае, когда априорная информация позволяет построить оценку (4.29).
Использование формул (4.28) и (4.29)оправдано в том случае, когда величина о оценки погрешности точного решения задана с незначительной ошибкой. Если же значение ы неиз вестно или не может быть эффективно рассчитано, то следует применять оценкипогрешности, построенные повеличинам
норм ||w"||^un-
Опуская элементарные промежуточные выкладки, получаем в рассматриваемом случае вместо выражения (4.28) и (4.29) соответственно оценки погрешности (4.30) и (4.31):
|
|
|
|
ет |
|
£з(«) |
|
|
|
r = h +1 |
|
1 —Sr |
L |
- |
Sk |
||
|
|||||
|
|
/г=0 |
|
|
|
|
|
(s«<C 1) |
(4.30) |
||
g4(n) = |
, |
(а < 1; |
u= max vn) ■ (4.31) |
|
l —a |
|
|
Значение /ц, |
при котором оценка |
(4.31) |
имеет единственный |
минимум, определяется из следующего трансцендентного урав нения:
(1—a)av |
an*+l— 1 |
|
|
п4 — —------Г--------------- |
Н ------------ |
Г------------ |
• |
bye |
|
In а |
|
Полученные выше функции |
gi(n)-^-gi(n) позволяют коли |
||
чественно оценить погрешность |
итерационного |
процесса (4.17) |
|
в том случае, когда возмущения |
малы |
по норме по сравнению |
|
с точными значениями норм используемых функций и операто ров. Если это требование не выполняется, то оценки (4.28) — (4.31) могут привести к ошибочным результатам, особенно при большом числе итераций п.