Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 124

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

131

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Поэтому займемся исследованием погрешности итерацион­ ного процесса (4.17) при произвольных, ограниченных по норме, возмущениях. Из выражений (4.9) и (4.26) следует:

 

 

 

П

 

 

ип—W=

X i A iW+

 

 

 

г=0

 

п

п

 

 

+

f П

{ B k - Af+Ah) +

 

h= 0

i“ = k + 1

 

 

n

 

 

+

A n .. ■A r+iEh(Ar^i-\-Er-i) ... (Ak+iA-Eh+i) Bkf-

 

r~k+1

 

 

Отсюда получаем оценку погрешности, справедливую при лю­ бых возмущениях итерационного процесса

\иа—w

(ш—ср^

+

 

 

V

s * 1

 

~\~tn £

bfe(бф+ф)

= gn(n),

(4.32)

th

 

/ 4 = 0

 

 

 

где

k

t h = U (a,-fe;).

i = 0

Легко показать, что функция gain) переходит в функцию gi(n), если принять, что

at, bt, ф, со^>шах {бф, 6г, e,}-v0.

В том случае, когда оценки норм элементов и операторов, входящих в (4.17), ограничены сверху известными постоянными, получаем оценку погрешности, мажорирующую (4.32):

\\ип—w|<g-6iara+1—g62(a+e) и+1+£вз=£б (п),

(4.33)

где

Ь(ф+§ф)+6

bф

g’61 = W+ 1—a g62 =

1—а—е

ge3——g62— gfil + CO.

9*

ГЛАВА IV

132

'При выполнении

условия

а + е < 1 функция ge(n) в точке

Пб =

g 61

l g

а

1

1

g 62l g

(а+е) J

а + е

 

 

 

 

ё

а

имеет единственный минимум,

равный

 

 

 

 

,

а + е

 

 

 

 

l

g ------------

 

ge(ne) = a ^ g ei -

 

+ g 6 3 -

Если величина ш неизвестна, то, пользуясь методом получе­ ния выражений (4.30) и (4.31), приходим к следующим оцен­ кам погрешности итерационного процесса (4.17), не зависящим от нормы точного решения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

gi(n) — ■

[ s „ ( o n

ф

^ -

 

 

 

 

 

 

 

 

1—SnL

■

 

 

h= 0

 

 

 

 

 

1,

V

М ф + бф )+ 6^

 

j

(Sn<g 1 ) i

(4.34)

 

 

h^o

th

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

,_ч

 

 

g8i - g 82(a+e)*+t

 

^з,

 

(a <

1),

(4.35)

ga(n)=

 

j _fl„+i

 

 

 

 

g81=

g63+g83;

g82= g62;

g83=V

,

by

 

 

 

1 1—a

'

 

Величина п&, доставляющая при

а + е<1

минимум

оценке

(4.35), является корнем трансцендентного уравнения

 

 

 

gai lg а

 

 

 

 

 

 

Igo

 

 

п8=

g 82

l g

 

(а+е)

(а+е) "8+1 [

 

l g

(a+e) ]}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

g

^

 

 

 

 

 

 

Теорема

4.7.

Допустим,

что

итерационный

процесс

(4.17)

сходится и выполнены условия применимости какой-либо из оценок погрешности (4.28) — (4.35).

Тогда

алгоритм

метода последовательных приближений

(4.17)

является регуляризующим (по А. Н. Тихонову),

если в

качестве

параметра

регуляризации использовать число

итера­

ций п*,

определяемое из условия минимума той оценки погреш­

133

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ

ности gi(n),

которая имеет

место в исследуемом случае, т. е.

по формуле

 

 

 

п * = Е [пг-)-0,5];

 

 

(4.36)

 

gi (ni) =

min gi(n).

 

 

0<n<OO

Здесь £[s] — наибольшее целое число, не превосходящее s. . Доказательство. Очевидно, что функции g2i(n) являются

мажорантными для функций g2{-i(n), g2i-i{n) ^ g 2i(n), /=1,4.

Поэтому ограничимся рассмотрением оценок с четными номе­ рами. Допустим для определенности, что справедлива оценка (4.29). Подставив в формулы для п2 и g2(n2) выражения для коэффициентов g2i (/= 1 ,3 ), получаем

а(\—а)2со—а(1—а) (йбф+б)—Ыре

_1_

 

п2-

 

In а

 

( \ —a)bqe

 

(4.37)

/мре+(1—а) (ббф+б)

-ап2-

bq>e

 

g2(nz)

 

 

(1—а)2

(1—а) In а '

 

Из этих соотношений и вытекает доказываемая теорема в случае использования оценки (4.29), так как:

1) величины п2, g2{n2) и ип2 непрерывно зависят от исходных данных уравнения идентификации, что следует из соотношений (4.26), (4.37) и непрерывности нормы [1.37], причем ||ыпг — т>||г^

^g2(n2)<oo;

2) в том случае, когда возмущения решаемого уравнения и погрешности реализации итерационного алгоритма сильно сходятся к нулю, из формул (4.37) получаем п2-+оо, g2(n2)^-0, т. е. ип2 сходится кш по норме.

В случае использования других оценок погрешности дока­ зательство теоремы проводится аналогично.

Таким образом, описанный алгоритм позволяет находить регуляризованные решения уравнений идентификации при помощи метода последовательных приближений. В ряде случаев соот­ ношения параметров, входящих в построенные оценки, таковы, что искомый минимум отсутствует либо достигается при очень большом значении п. При этом для выбора числа итераций вме­

сто (4.36) удобно применять следующее правило:

 

п* = Е [Ы + 0,5];

|

 

gi(ni)=2gi(ni)\&a=6c=6=o.

j

(4‘38)

Смысл критерия (4.38) состоит в определении числа п* из условия равенства оценок погрешностей, обусловленных ошиб­ ками вычислений и неточностью задания элементов решаемого

если /> а -1— 1;

ГЛАВА IV

134

уравнения в отдельности. Для сходящегося процесса последо­ вательных приближений число итераций, определенное по фор­ муле (4.38), неограниченно возрастает, если нормы возмущений

стремятся к нулю.

 

 

 

____

Например, для мажорантных оценок g 2i(n), i= 1,4 второе из

уравнений (4.38)

записывается в следующем виде:

 

|аПг

£асо-

&2<p6r

ab6ф

62фбг

g2(n2)

1—а

Пг

1—а

(1—а)'-

 

 

 

Ь2фбг

J .& ,

1

 

^( 1 - а ) 2^ 1—а У

 

g i (m ) = 2

 

 

 

1

 

-ап*(n4+ 1) -j-я4ап<+1

1—an,+i £ v-\-b2q8r — —

(1—а)2

]}= (4.39)

 

ge(n6) = 2

{ ( соД—1 —a ) a”e+1—

 

 

\—a—b8r

 

,b

 

 

 

1—а

 

i(ne)= 2 -

b((p+8cp)

[1— (a-j-66r) n»+1]

Ыp

l —a—bbr

 

1—a»B+i

 

1—a

где ||AjR||sS6r.

 

 

 

На практике часто встречается случай, когда

8а = 8с = 8г = 0.

Подставив в (4.39) эти значения и осуществив очевидные пре­ образования, находим

п2= п в = —

я4 = п8 =

где

l g И 1 + 0 ]

lga

(4.40)

lg [a(l + m)] , если m > a -1— 1, lga

, ю(1—a)

 

v (1—а)

б-йбф

’ т

8 ^ Ш Г '

Построенные оценки погрешности являются эффективными,

если известны значения а,,

ф, ег-. В качестве верхних оценок этих

величин можно использовать следующие:

a i ~ \\Ai\\ — ||С,-|-Д;ДД—АС,-II ^Сг + бгбг-фбСг;

Ф=НЛ1^!1/+ЛЛ1+бф;

+ = \\Л,'+ £',11 = IIС;-}-A/4j|| ^С ; + ба;.

Смотрите также файлы