Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

135 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Теорема 4.8. Итерационный процесс (4.17) устойчив по отно­ шению к возмущениям уравнения идентификации (2.10) и по­ грешностям вычислений, если выполняются условия

шах ||Сг-+АЛ,||^<7i< 1;

1=0,1,2....

шах ||Л,-|К<72<1.

i=0,l,2,...

Доказательство. В условиях теоремы из формулы (4.35) нолучаем

Отсюда следует требуемый результат, так как правая часть формулы (4.41) непрерывно зависит от нормы возмущений и погрешностей вычислений и сходится к нулю, если последние стремятся к нулю.

Таким образом, рациональное число итераций в нашем примере равно 2 или 3. Соответствующие приближенные решения приведены на рис. 4.4. Из графиков видно, что функции м2(/) и u?(t) намного лучше воспроизводят точное решение, чем функция u(t). В то же время объем расчетов по пред­ ложенному регуляризующему алгоритму невелик вследствие небольшой вели­ чины рационального числа итераций.

В заключение данного параграфа рассмотрим случай, когда получение оценок для норм ошибок и операторов погрешностей оказывается затруднительным. Обычными критериями остановки итерационного процесса являются следующие:

\\ип—

| | А - 7 м * - Ч К > й .

Достаточно общий класс подобных критериев можно описать соотношением

где хь яг я — некоторые априори выбранные положительные числа; F — известный оператор, причем на точном решении за­ дачи идентификации w0 и при отсутствии возмущений выпол­ няется тождество

для определения числа итераций является то, что оно не учи­ тывает имеющейся информации о помехах измерений и поэтому приводит в общем случае к завышенному значению п.

Обычно мы можем считать, что элемент e0 = /7[®o, ш0] в слу­ чае присутствия в итерационном процессе возмущений является случайной функцией (или последовательностью случайных ве­ личин), удовлетворяющей следующим условиям:

М {е0} = 0 ;

Неравенство (4.44) вводится в связи с ограниченностью реаль­ ных сигналов и помех. При этом мы не исключаем случая х = °°- Имеющаяся информация о функции е0 вместе с условием (4.43) позволяет выделить в пространстве W некоторую область

N(%,x), зависящую от пара­ метров £ и х и обладаю­ щую следующими свойст­ вами:

1) элемент даеЛД|, %) в том и только в том случае, когда случайная функция s = F[w, да] удовлетворяет не­ равенству (4.44), а гипотеза о равенстве нулю математи­ ческого ожидания М{е} ис­ тинна на уровне значимос­ ти

2) параметр £= £(х) вы­ бирается таким образом,что

lim Nll(x), х] =®о, где да0 —

Х-Ч)

точное решение задачи.

если параметр |е[0, 1] выбирать в соответствии с информацией о статистических свойствах возмущений. Легко показать, что при £= 0 область N (0, %) совпадает с областью, определяемой неравенством (4.44), а при ^ = 1 с совокупностью решений урав­ нения

M{F[w, да]} — О,

удовлетворяющих условию (4.44).

Допустим, что в результате расчета при помощи итерацион­ ного процесса (4.17) определены элементы ип~1 и ип. Тогда ре­ шение об остановке итерационной процедуры принимается, если

сматривается как приближенное решение уравнения иденти­ фикации.

Проверка гипотезы (4.45) обычно проводится при помощи непараметрических критериев математической статистики [2.20], например, критерия знаков, так как между значениями функции

en= E[«rl_1, ип] существует сильная зависимость, не подчиняю­ щаяся гауссовскому закону.

Если же случайная функция гп распределена нормально, то наиболее эффективным является использование критерия Стьюдента [2.36]: гипотеза (4.45) истинна, если

|*п|^г4|,й-Ь

где h, /i-t — квантиль распределения Стьюдента с числом сте­ пени свободы (k~ 1) и вероятностью

k — число точек дискретизации ei" , . . ., e/tn функции е” ;

в вероятностном смысле, для его проверки можно использовать статистические критерии.

Таким образом, критерий остановки процесса последователь­ ных приближений, основанный на методах проверки статисти­ ческих гипотез, записывается следующим образом:

шить число итераций и общий объем вычислений по сравнению с обычными критериями остановки итерационного процесса.

4.4. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

В предыдущих параграфах были рассмотрены вопросы исполь­ зования итерационных методов для определения приближенных решений задачи идентификации. Применим описанные алго­ ритмы к интегральным уравнениям идентификации непрерывных динамических систем.