Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 120
Скачиваний: 0
ГЛАВА IV |
140 |
Процесс (4.48) сходится, если выполняется условие
|
|
В Д |
Ь(<) |
||Л„||2= |
sup |
J [ w(t, 0)— |
|w(t, x)dxX |
Ifflili |
|
= 1 °(0 |
a(t) |
b(t)
X j Rxx(x,z)Bn(t,z,Q)dz j d e < l.
a(t)
Особенно удобен при численной реализации метод простой
итерации |
|
wn(t, 0) — |
0) -+- |
b(t) |
|
+Р(0[^(^0)—J w ^ i t , x)RxX(x, Q)dx j , |
|
a(t) |
|
сходящийся при |
|
0 < P ( 0 < - — ---------------- |
--------------------— . |
I b(t) b(t) |
|
]/ J J |
Rxxz(x,Q)dxdQ |
~ a(t) a(t)
Аналогичным образом можно конкретизировать и другие ал горитмы метода последовательных приближений, приведенные в параграфе 4.1.
Если искомый функциональный параметр содержит 6-фун кцию, т. е. описывается соотношением (3.43), то метод простой итерации записывается следующим образом:
p n(f) 1 |
|
Г |
] , |
[*"(*, 0) J |
|
L Ая_1(^0) J |
|
|
b(t) |
|
|
Ryx(tJ)— | |
wn- l {t,x)Rxx(x,t)dx |
||
+Р(0 |
a(t) |
|
|
b(t) |
|
||
R y x ( t , Q ) — |
J |
r s } ^ ( t , x ) R x x ( x , Q ) d x |
|
a ( < )
В ряде случаев при составлении уравнения идентификации используются сигналы s(t), не коррелированные с действую щими в системе помехами, но отличные в общем случае от вход ных воздействий системы. Подобный прием используется, напри
141 |
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ |
мер, если для сигнала x(t) |
не выполняется последнее из усло |
вий (2.8). Уравнение идентификации при этом принимает вид
[2.13] |
|
ь(о |
|
J w{i,x)Rxs{r,d)dx— Rys(t,Q). |
(4.49) |
a(t) |
|
Для получения устойчивого решения задачи возможно при менение обычного алгоритма регуляризации Тихонова [1.30] к интегральному уравнению Фредгольма первого рода (4.49) в
пространстве L2[a(t), b(t)].
Кроме того, решение этого уравнения можно найти при по мощи метода последовательных приближений. С этой целью, воздействуя на выражение (4.49) интегральным оператором, сопряженным к оператору левой части (4.49), получаем
6(f) |
Ь«) |
|
|®([, т) |
ГJ R x s ( x , Q)Rxs{z> Q)dQ 1d x = |
|
a(0 |
a(0 |
|
|
6(0 |
|
= |
J Rvs(t,Q)Rxs(z,Q)M. |
• (4.50) |
|
®(o |
, |
Уравнение (4.50) является интегральным уравнением Фред гольма первого рода с самосопряженным неотрицательно опре деленным ядром. Следовательно, искомый функциональный па раметр может быть определен в результате применения к (4.50) любого из описанных выше итерационных процессов.
Ряд задач идентификации приводит к необходимости опре деления решения интегрального уравнения Вольтерра первого
рода |
|
i |
|
f ( t ) = j w(x)Q(t,x)dx, |
(4.51) |
о |
|
где ядро Q(t, т) и свободный член f(t) являются |
известными |
функциями. |
|
Уравнение (4.51) естественным образом появляется в зада чах численного дифференцирования некоторой эксперимен тально заданной функции h(t) и идентификации непрерывных стационарных систем по реализациям входного и выходного сигналов.
Допустим, что свободный член уравнения (4.51) задан на
отрезке |
[0, Л. Применив к (4.51) оператор, сопряженный в |
L2(0, Т) |
к оператору Вольтерра, приходим к уравнению Фред |
ГЛАВА IV |
142 |
|
гольма первого рода с самосопряженным неотрицательно опре деленным оператором
т |
|
|
J w(x)Fxx(t,x)dx = Fyx(t), |
(4.52) |
|
О |
|
|
где |
|
|
Fnx(t) = |
J f (x)Q (х, t)dx; |
|
|
t |
|
|
T |
|
F*x(t,x)= |
\ Q(Q,x)Q(Q,t)dQ. |
|
max(f,t)
Решение уравнения (4.52) совпадает с искомым решением уравнения (4.51) [1.14] и может быть найдено при помощи ме тода последовательных приближений. Таким образом, для ре шения интегральных уравнений Вольтерра первого рода приме нимы устойчивые итерационные алгоритмы, описанные в дан ной главе.
Например, в случае идентификации стационарной системы
в уравнении |
(4.51) оказывается, что: |
f ( t ) —y(i) |
— выходной сигнал системы; |
Q (t, х) s=Q(t —т) =x(t — т) — входной сигнал системы. Легко показать, что ядро и свободный член выражения
(4.52) в этом случае определяются формулами:
г—t
Fvx { t ) = j y{x+t)x{x)dx\
О
T - Х
Fxx{ t , x ) = | х (8 )х (0 + т —t)dd,
max(0,f—t)
а искомый элемент w(t) определяется при помощи итерационного процесса (4.17)
т
wn( t ) = j [wn~4x)An(t,x )+ F yx(x)Fin(t,x)]dx, (4.53)
О
в котором
Т
An(t, т ) + J Fxx(x,Q)Bn(t,Q)dti = 8 ( t - x ) .
О
143 |
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ |
|
Процесс |
(4.53) сходится, если |
г |
|
|
|
|
Г sup |
J [ ш(6) — |
|
£ w2(x)dx—1 |
0 |
|
о- |
|
тт
— j w(x)dx J F, (т, z)Bn(t, z)dz
оо
Уравнение (4.52) является исходным и для построения ите рационного процесса нахождения производной порядка k фун кции h(t). В этом случае в (4.51)
и» (0 = № ( t ) ; Q(i, х) = |
■ |
; |
k-\ |
' |
|
f ( t ) = h ( t ) ~ £ /^ (0 ) - ^ . |
||
i = 0 |
‘ |
' |
С рассмотренным способом решения уравнений Вольтерра первого рода тесно связан итерационный метод решения иерегуляризованного интегрального уравнения идентификации (3.42). Введем операторы
о
R'w = | w(t,x)R(x,Q)dx; a(t)
b(t)
R"w = J ay (t, x)R(Q, x)dx,
0
где / ? ( 0 , т) = R x x { т, 0) при т < 0 .
Тогда решение уравнения (3.42) может быть найдено при
помощи итерационного процесса |
|
(R"-RD)wn = f + ( D - R ' ) w n-K |
(4.54) |
Здесь D — интегральный оператор, удовлетворяющий условиям:
1)R" + D — интегральный оператор Вольтерра;
2)|(R " В-D )-1(D — R') ||< 1.
Алгоритм (4.54) требует на каждом шаге обращения опе ратора (R" + D). Из условия 1 получаем, что эта процедура может быть просто реализована при помощи метода последо вательных приближений (4.53).
Описанный вариант итерационного метода применяется в том случае, когда идентификация проводится на полубесконечном отрезке, так как в этом случае оператор R0 = R' + R" не ограничен в L2( — 0 н непосредственно к уравнению f^R^w метод последовательных приближений неприменим.