Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

145 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Многочисленные примеры, иллюстрирующие возможности метода стохастической аппроксимации, приведены в работах

[4.1, 2.37, 4.20]*.

Рассмотрим некоторые особенности алгоритма (4.55). Из по­ строения видно, что данный алгоритм применим только к ко­ нечномерным задачам. В ряде работ [4.6, 4.11, 4.21, 4.25] полу­ чены результаты, относящиеся к вопросам применения стохасти­ ческой аппроксимации к отдельным классам задач в бесконеч­ номерных пространствах.

Во многих случаях разложение (3.1) аппроксимирует иско­ мый функциональный параметр с некоторой погрешностью. Вследствие этого оказывается, что приведенная к выходу сис­ темы помеха п2 (формула 2.8) имеет отличное от нуля матема­ тическое ожидание и зависит от входного сигнала х. Отсюда вытекает, что решение задачи идентификации, полученное при помощи процесса (4.55), может существенно отличаться от ис­ комого значения функционального параметра.

Особенно сильно указываемое явление наблюдается в том случае, когда пространство W бесконечномерно, что объясня­ ется некорректностью задачи идентификации. Воспользуемся методом регуляризации Тихонова для построения устойчивого алгоритма стохастической аппроксимации в гильбертовом про­ странстве. В дальнейшем мы используем следующий результат.

Тогда для любого положительного числа с и натурального числа i величины zh и Tik стремятся к нулю при А-^оо.

имеет место для всех т # 0 , находим

* При решении ряда задач используются непрерывные алгоритмы сто­ хастической аппроксимации [4.6], однако, вследствие ограниченной размер­ ности решаемых с их помощью задач мы на этом вопросе не останавлива­ емся.

10 — 2733

147 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

lim zh= 0. k-*-oo

Лемма доказана.

Теперь мы можем сформулировать основной результат дан­ ного параграфа.

Теорема 4.9. Допустим, что выполнены следующие условия:

1)пространство W гильбертово;

2)а>0;

3)оператор R\ положительно определен и ограничен;

4)уравнение (3.8) имеет единственное решение;

5)система измерения описывается уравнениями (2.8), в ко­

торых

А= М {А *[х ]п 2}Ф0\

а) устойчив в среднеквадратическом к вариациям математи­ ческого ожидания Д помехи п2; б) M{\\wah~ w 0\\2}^-0 при k->-oo

и б — ||Л|—s-0, если а^-0 таким образом, что— ->0.

Здесь — решение уравнения (3.8).

Доказательство. Используя неравенство треугольника, легко показать, что

УМ { ||w a k — ®о112}^ У М {|| w a h — w a ||2} -|-

+ у м {||ш„—ша||2} + ум{||ща—ш0||2} =

10*

При записи выражения (4.59) мы сохранили обозначения, использовавшиеся в формуле (3.56), с учетом того, что в рас­ сматриваемом случае в уравнении (3.55)

/ б — f o - { - M {А* [ х ] п2} = / о + А ;

||/б—foil = ПА|= б.

Последний член неравенства (4.59) в соответствии с леммой 3.1 представляет собой некоторую непрерывную функцию h (а), причем h(a)-*-0 при а^О.

Вычитая это выражение из (4.58), находим

wah+l—wa= {I—yk{aRi+A*[xk]A[xk\}(wah— wa) +

+Уи(А*[хк]п2,и—A). (4.60)

Введя обозначения

Fh= I —yh(aRi+A* [xk\A [xk] );

g k= A * [ x h]n2,k—A,

получаем на основании (4.60)

\\wak+l—Wa\2= \\Fk(wak—Wa) ||2-f

Оператор уДа/^+ЛДхИЛ [xH) при всех k в силу условий теоремы положительно определен, причем нижняя граница его спектра не меньше, чем у^сфь а верхняя — не превосходит y&(a||/?i|| + s ) < оо (0! — число, введенное в лемме 3.1).

Из условия уk~^0 при k—^oo вытекает, что существует на­ туральное число I такое, что для всех k ^ l справедливо нера­ венство

2

Уh <

а ( P i~ b IIД1Н)