Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 117

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г Л А В А V

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Рассматриваются методы и алгоритмы решения уравнения (2.13), основанные на приведении последнего к интегральному уравнению второго рода, корректно разрешимому при любой правой части. Получены корректные уравнения идентификации при помощи метода регуляризации Тихонова, метода квазире­ шений Иванова и исследованы специфические особенности применения этих методов к рассматриваемому классу задач.

5.1. ЛЕВАЯ И ПРАВАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Предположим, что в уравнении (2.13) параметр а = 0. Харак­ терной особенностью рассматриваемого случая является двойст­ венный характер получаемого при этом уравнения: а) в задаче идентификации входного сигнала или его ковариационной мат­ рицы уравнение (2.13) при фиксированном 0 является инте­ гральным уравнением Вольтерра первого рода;

б) в задаче идентификации матрицы импульсных переход­ ных функций уравнение (2.13) представляет при фиксированном аргументе t интегральное уравнение Фредгольма первого рода.

Двойственный характер этого уравнения обусловливает спе­ цифику решения каждой из поставленных задач, причем опре­ деление решения задачи б) в общем случае является более сложным с вычислительной точки зрения. Это вызвано тем об­ стоятельством, что уравнения Вольтерра являются частным случаем интегральных уравнений Фредгольма [1.34], поэтому алгоритмы решения интегральных уравнений Вольтерра проще. Ниже рассматривается решение задачи б) для уравнения

b{t)

§w(t, %)Rxx(x, Q)dx = Ryx(t, 0).

(5.1)

a(t)

Учитывая преобразование (2.16), считаем это уравнение од­ номерным. Допустим, что входной сигнал не содержит состав­ ляющей типа белого шума, так как в противном случае урав-

151

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

нение (5.1) являлось бы уравнением второго рода, и отсутство­ вала бы необходимость применения предлагаемого далее ме­ тода.

Основным методом решения интегральных уравнений пер­ вого рода является метод регуляризации [1.9], сущность кото­ рого состоит в преобразовании исходного уравнения к инте­ гральному уравнению второго рода. Операторы, осуществляю­ щие это преобразование, называются регуляризаторами (ле­ вым, если регуляризатор воздействует на обе части исходного уравнения, и правым, если определяет операцию замены неиз­ вестного). Регуляризатор является эквивалентным [1.16], если исходное и преобразованное уравнения эквивалентны.

Теорема 5.1. Пусть выполняется условие

дгЯ(0, т)

S( х)фО,

l= k ,

 

 

(5.2)

аег

о,

 

i = o , k —Т,

где

 

 

 

 

Я ( е , т )= я ( т , е ) - я ( е , т ) ;

 

R ( т,0),

т < 0 ;

 

я XX

 

т > 0 .

 

Я(0, т),

Тогда уравнение (5.1) допускает левый и правый регуляризаторы, определяемые выражениями (5.5) и (5.6) соответственно, причем правый регуляризатор является эквивалентным при лю­ бом виде правой части уравнения (5.1).

Доказательство. Из (5.2) следует

Я (0 ,т )= J - ,

L{z, т) dz+S (т)

(9—x )h

k\

X

 

 

L(z, Q)dz-\-S (0) - - J — ] = —H (t, 0),

где

dk+iH (z, t )

L(z, t) =

dzh+1

Подставим эти выражения поочередно в уравнение (5.1) и пре­ образуем последнее

8

b(t)

Ryx(t,B)= J w(t, т)Я (0, т)Д г+

j w (t, t)R(Q, r)dx =

a(t)

a(t)

ГЛАВА V

152

= 1

(0—t)ft [

w(t, t ) S ( t ) + | w(t, z) L (t, z)dz j

dx-j-

k\

a(t)

 

 

 

b(t)

 

 

 

+ | w(t, x)R(Q, x)dx\

(5.3)

 

 

a(t)

 

 

0

b(t)

 

Ryx( t , Q ) = — J

w{t, x)H(x, 0)Дт+ j w(t,x)R{Q,x)dx =

 

a(t)

a(t)

 

 

 

0

 

= ( - l ) fe+!S(0) J — -w(t, x)dx+

a(t)

оT

4 - (—l ) fe J

dx [ J

z)riz]L ( T , 9 )

+

a{t)

a(t)

 

 

 

 

b(i)

 

 

 

 

+ J w (t, x)R(Q, x)dx.

 

(5.4)

 

a(t)

 

 

 

Уравнение (5.3) допускает левый регуляризатор, представ­

ляющий оператор k + 1-кратного дифференцирования

по 0. Ле­

вое регуляризованное уравнение имеет вид:

 

 

Ь(<)

 

d ^ R vx(t, 0)

 

d ^ R xx(x, 0)

S(0)u>(*,0) + J w{t,x)

(50A-H

dQh+1

(5.5)

a (t)

 

 

 

 

Дифференцирование автокорреляционной функции в фор­

муле (5.5) следует

производить слева и

справа от

диагонали

т = 0, т. е.

 

 

 

 

dh+1Rxx(x, 0)

dk+iR (т, 0)

т < 0 ;

 

d Q k + i

 

 

 

c?0ft+1

 

дк+^(в ,х )

т > 0 .

 

 

 

dQh+i

 

 

 

 

 

Уравнение (5.5)

является

каноническим фредгольмовым,

если интегральный оператор в левой части вполне непрерывен. Кроме того, все решения уравнения (5.5) являются одновре­ менно и решениями уравнения (5.1). Однако левый регуляри­ затор в общем случае не является эквивалентным, так как его

153 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

нуль-пространство не пусто. Эквивалентность уравнений (5.1) и (5.5) имеет место, если Ryx{t, 0) eZ-2(ft+1) [а(^), &(0L причем

О0 ‘

I

= 0 , <!= М ) .

1

е = а (()

Правый регуляризатор в данном случае является эквивалент­ ным и использует следующее обозначение:

е

^©) = (—l ) ft+1 J ^ - ~ — w(t,x)dx.

a(t)

Подставив это выражение в (5.4), после несложных преобра­ зований получаем регуляризованное справа уравнение иден­ тификации в двух эквивалентных формах

е

S(0)u(*, 0) —

j v(t,x)L (x,Q )dx=R yx(t,Q)-\-

 

 

a(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

b(t)

dk+1v (t, x)

 

 

 

 

+ < - П ‘ I

R(d, т)dx;

 

dxk+1

 

 

 

a{t)

 

 

 

 

 

 

 

 

b(t)

 

dh+iRxx(x, 0)

 

 

S(Q)v(i, 0 )+

J

v(t, t )

dx-

 

 

 

a ( i )

 

 

dxk+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

( - 1) 1 d ^ l^ bit)]

дк~Щхх[Ь {t), 0] .

 

=/?„*(/, 0 )+ £

(5.6)

i= 0

 

 

db(ty

 

d b ( t ) ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е 5.1. Условие (5.2) выполняется, если

для случайной

фун­

кции x(t) существует формирующий фильтр,

причем

в этом случае k—

=2(п — т) —1, где п я т

—

порядки левой-и

правой частей дифференциаль­

ного уравнения формирующего фильтра [5.5].

Применив теоремы о разрешимости интегральных уравнений Фредгольма .[1.9] к уравнению (5.5), получаем следующие до­ статочные условия идентифицируемости в пространстве

L2[a(t), b(t)]:

ьт

а)

 

дк+^уХ(1, 0)

d Q C оо;

 

Оды

 

 

Г

b(t) b(t)

l

dh+iRxx(r, 0)

j dxd6<l;

I п

5(0)

<50*+*

a(t) a(t)

 

 

 

ГЛАВА V

 

154

б) интегральный оператор с ядром

1

dh+1Rxx(т, 9)

5(B)

 

неотрицательно определенный.

 

 

 

Аналогичные условия идентифицируемости следуют из урав­

нений (5.6).

 

является доста­

Таким образом, выполнение условия (5.2)

точным для регуляризуемости уравнения (5.1). В этом случае уравнение идентификации имеет правый и левый регуляризаторы и может быть преобразовано в уравнение второго рода, реше­ ние которого непрерывно зависит от исходных данных и устой­ чиво по отношению к экспериментальной информации.

Используя полученные результаты, запишем выражение для регуляризованного слева и справа уравнения Винера—Хопфа

первого рода

 

 

 

| w(x)Rxx(t—x)dx =

Ryx(t).

(5.7)

о

 

 

 

Условие ( 5.2) в данном случае принимает вид

 

dl[ R ( - t ) - R m

S # 0,

l = k;

 

О,

1=0, k—Y.

dt'

 

Для стационарных случайных процессов с дробно-рацио­ нальной спектральной плотностью это условие всегда выполня­ ется, так как для подобных процессов всегда существует фор­ мирующий фильтр [5.9].

Теорема 5.2. Уравнение Винера—Хопфа первого рода (5.7) в случае входного сигнала с дробно-рациональной спектраль­ ной плотностью всегда допускает правый и левый регуляриза­ торы, приводящие уравнение (5.7) к уравнениям Винера—Хопфа второго рода

5 а » ( 0 + J w(x)Rxx(k+D(t-x)dx=RyX^+lHt)-

О

(5.8)

j v(x)Rxx(h+»(t—x)dx = Ryx{t).

о

Доказательство. Условие (5.2) выполнено. Поэтому доказы­ ваемая теорема является следствием теоремы (5.1). Формулы (5.8) вытекают из (5.5) и (5.6) с учетом того, что

Rxx(l)(—°°) = R xx(i)(- \ - o o ) = 0 ,

( / = М ) .

Смотрите также файлы