Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 115

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

155 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

П р и м е р 5.1. Рассмотрим вопросы левой регуляризации уравнения Винера—Хопфа.

Пусть в уравнении (5.7)

т

Rxx(т) = 2 e-“j|t|[ai cos fiiX + bt sin (3,-|т|], i= l

где ai>0, Pi, ai, bi — известные постоянные. Перепишем это выражение в виде2т

j?*«(T)==^Ci6-Yi4 /=1

где

Предположим теперь, что верхний предел суммирования в последнем выражении равен некоторому числу г, причем существует такое натуральное число к, что

 

 

 

2

Yi2i_1'Ci

О, 1= 0,6-1;

 

 

 

 

 

%¥=0, l= k.

 

 

 

 

 

i=i

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя выражение для RXx (г) в (5.7) и продифференцировав полу­

ченный результат 2п раз по t, получаем

 

 

 

 

Rvx(2nHt) =

2

Yi2nZi(^)+

f 0

2

Yi2(n-*)-1cizei(2s){<)

 

I —2 2

 

 

 

1=1

 

 

 

 

s=0 i= l

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z i ( t ) = C i

J

ш(т)е~1” li-H dr, (t=l, r).

 

Для случайной

функции x(/)

с

корреляционной

функцией

всегда

существует

формирующий

фильтр

 

[2.25],

причем 1 ^ й ^ г . Если принять в

предыдущем

уравнении « = £, то

получим

интегральное уравнение

Винера—

Хопфа второго рода

 

 

 

 

 

 

 

 

 

да];*)

 

1

 

 

 

 

Уг2кСге~?А‘-т1

w(x)dx—RyxW (t)

 

 

 

 

 

 

2 2

Y*2* - 1^

 

 

 

 

 

 

 

 

i=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

методы решения которого хорошо известны [1.9].

ГЛАВА V

 

 

 

156

 

С другойстороны, еслипринять в рассматриваемом уравнениия = 0, г—1,

то,

определяя изполученной

системы

алгебраических уравнений*

функции

z,(t)

и подставляя найденные величины в уравнение (5.8) при я = г,

получим

дифференциальное уравнение

порядка

2 (r— k) относительно функции w(t):

 

г

 

r—k

Г

 

 

2

Yi2rZi(0=tf!/-(2r)(0-:~2 2

Yi2(r- sb,c;“)(2s)(0 .

(5.9)

 

i= 1

 

s=C

i=l

 

Коэффициенты последнего уравнения постоянны, а начальные условия определяются из предыдущих выражений.

В частном случае при k=r получаем решение задачи идентификации в явном виде:

“>(0 = ------ ;----- ^ Y i ^ t(t)-Ry^ r4t) (5.10) i-i

»'=1

Таким образом, метод левой регуляризации позволяет при­ вести уравнение Винера—Хопфа первого рода к уравнению второго рода либо к дифференциальному уравнению с постоян­ ными коэффициентами и является эффективным средством ре­ шения задач идентификации линейных систем. Аналогичные ре­ зультаты можно получить и с применением метода правой регуляризации.

5.2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ТИХОНОВА ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

В тех случаях, когда условие (5.2) для построенной аппрокси­ мации корреляционной функции не выполняется или погреш­ ности дифференцирования превышают допустимые, для полу­ чения устойчивого решения уравнения (5.1) следует применять метод регуляризации Тихонова.

Рассмотрим возможности применения регуляризующего алгоритма п-го порядка гладкости [1.30] для нахождения устой­ чивого приближенного решения уравнения (5.1).

Допустим, что мы хотим определить это решение в классе функций L2<n+1)[a((), 6(f)], Выбарем оператор L в функционале (2.9) следующим:

L w = [ i K ^ J ^ w ( t , x )

* Эта система всегда имеет решение, так как ее определитель отличен от нуля как определитель Вандермонда [2.19].

157ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

анорму в пространстве WL вида

Ь«)

\\h\\wL =

J hT(t,x)h(t,x)dx,

где Ki(t,x), (i = 0, ra+l)

— непрерывные положительные фун­

кции. При таком выборе сглаживающего оператора получим интегродифференциальное уравнение (2.13) с краевыми усло­ виями (2.14).

Решение уравнения (2.13) устойчиво [1.30] и при специаль­ ном выборе параметра a(t) в зависимости от погрешности экспериментальных данных имеет место равномерная сходи­ мость решения уравнения (2.13) и его производных до порядка

явключительно к искомой импульсной переходной функции и

еепроизводным.

Втом случае, когда известны порядки правой и левой час­ тей дифференциального уравнения исследуемой системы, поря­ док гладкости регуляризующего алгоритма следует определять на основании известных свойств производных импульсной пере­ ходной функции [5.5].

Функции Ki(t, т) выбираются произвольно, например,

Ki(t, x ) = K i > 0 .

Для выбора параметра регуляризации а(/) в работе [1.32] предложен эвристический алгоритм, основанный на многократ­ ном решении уравнения (2.13). В статье [1.22] для решения этого вопроса применяется принцип невязки, который позво­ ляет привести в соответствие точность задания правой части и оператора решаемого уравнения с точностью решения. Неудоб­ ством при использовании этого метода является необходимость значительной информации о погрешностях задания.

Покажем, что в задаче идентификации для выбора a (t) удобно применять статистические критерии проверки гипотез.

Выберем

некоторую

совокупность значений

параметра

а =

= {со , . . . ,

а*}

и определим соответствующую совокупность реше­

ний {wat,

,

Wak }•

Допустим, для простоты

изложения, что

имеются результаты

дополнительных измерений, которые

не

зависят от эксперимента, использованного при построении урав­ нения (2.13), причем процесс измерения описывается уравне­ ниями (2.8).

Введем в рассмотрение случайные функции

ГЛАВА V

158

Тогда для выбора величины а(/) можно предложить следующие алгоритмы:

1) детерминированный — <х(/) = ат (/), где

т — 1 т ( 0 ; X i

6mZ (t)

е«(0

i= \ , k

1=1

 

 

 

2) статистические. Они сложнее с вычислительной точки зре­ ния, но эффективнее в смысле точности решения. При этом вы­ бирается такое значение a (i ) = a m(t), для которого при исполь­ зовании статистики {х, у} справедлива одна из следующих ги­ потез:

а)

|Л*{ет (/)}| ^ | М {М 0 Н ;

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

М {[ е т ( 0 - М { е т ( 0 } ] 2} < М { [ е г ( 0 - М { е г ( ^ ) } ] 2},

 

Здесь

 

еi(t)

при

фиксированном

t

представляет

выборку

Eit(t) , . . . , егГ(^)

из некоторой генеральной совокупности.

в)

М{вг (t)x(xi) ..

. x (ts)} =0*,

(s = l,

I)

только

при i = m.

 

Рассмотрим возможности преобразования интегродифферен-

циального

уравнения (2.13)

к более

простому

виду. Умножим

уравнение

(2.13)

 

<Z — Q \ n

 

 

 

 

 

по 0 в пределах

на-— —— и проинтегрируем

от

a(t)

до г

 

 

til

 

 

 

 

В результате

получим

с учетом краевых условий.

интегродифференциальное уравнение порядка я+1

 

 

 

 

 

 

a(t)

[

(--1 )»+‘К„+1 (f,z)

dn+iw (t, z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dzn+l

 

 

 

 

+

I

f

 

V

/

(z—0)п- ‘

у

(f

a\

dlw(t,Q)

^

 

 

 

 

J

 

(

-

M»

t■, » )—— w„ - -- -

do-0 -v

 

 

 

 

a(t)

i —0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b(t)

 

г

— ~ p — Rxx(r, 0)d0=

 

 

 

 

 

+

J w (t, x)dx j

 

 

 

 

 

 

a(t)

 

a(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—J

TTj

 

Ryx(t, Q)dQ

 

 

(5.11)

______________________________ a(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

* Эта гипотеза вытекает из предложенного в § 2.5 алгоритма проверки истинности построенной модели, если в качестве минимизируемого функцио­ нала выбрать функционал среднеквадратической ошибки, а в качестве точ­ ного решения уравнения системы — отрезок ряда Вольтерра, содержащий /> 1 членов.

159ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

содноточечными краевыми условиями

Jift[6 (0 ]= 0 ,

(5.12)

Решение интегродифференциальныхуравнений

(2.13)

и

(5.11) в общем случае является сложной задачей.

Покажем,

что

регуляризованное уравнение (2.13) эквивалентно одному из сле­ дующих уравнений:

b(t)

иД, 0) + 1Lv{t, 9, z)v(t, z)dz = fv(t, 0);

I

 

a(<)

b(t)

 

 

i

(5.13)

 

 

 

1

 

w (t, 0) =

| Bv(t ,Q,z)v(t,z)dz;

I

 

 

a(<)

 

 

 

 

 

b(t)

 

 

 

 

w(t, 0)-f-

j* Lw(t,Q, z)w(t, z )d z =

 

 

a(i)

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

= f v , ( t , B ) + Y

 

 

 

(5.14)

 

fc= 0

 

 

 

 

Для этого представим w (f, 0)

в виде

следующего

выражения:

е

 

 

 

 

Г

(Q —

z ) 2 n + l

 

 

 

w(t,d) =

(2 n + ljT

'V{t,Z)dZ+

 

 

2(и+1)

k=i

где v(t,z) и Ck(t) — неизвестные функции.

Подставим это выражение в (2.13) и, считая Ki(t, 0) = K i(t), получим после несложных преобразований уравнение

Ь( < )

ц(/, 0 )+ J L(t,Q,z)v(t,z)dz=

a(t)

2(n+l)

= h ( t , 0)— Y j ck(t)lk(t,Q),

(5.15)

Смотрите также файлы