Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 113
Скачиваний: 0
ГЛАВА V |
160 |
|
где
L (t, 0,z) = |
— — Г- |
|
|
bit) |
’ |
Rxx(f, 0)с?т+ |
||||
1 |
• J |
|
||||||||
|
|
( - 1 ) ”+1 r |
|
f |
(* -* )\2n+ i |
|
||||
|
|
An+i (t) |
L |
a " |
(2 n + l)! |
|
|
|||
+ |
X ( - i V K i i t ) |
|
|
(6—z)2^ - ^ 1 |
2 < 6 ; |
|||||
|
|
[2(ti |
i) + l ] |
! I |
||||||
|
■i= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 > 6 ; |
|
|
fv(t, 0) = |
|
|
4 |
|
Ryx(t,Q); |
|
||
|
|
|
aKn+i{t) |
|
|
|
||||
|
|
(~ 1 )" +1 |
Г 1 |
|
b(t) |
|
|
|
|
|
lu(t, 6) |
|
Г |
b ~ a { t ) Y |
Rxx{y, 0)+T+ |
||||||
K n + l (t) |
[ - И |
|
- |
|
k\ |
|||||
|
|
|
|
|
a(t) |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ X (-1)г'~ Y f e - 2 / ) ! 2i A' i( / ) 1 " |
< * = l , 2 ( n + l ) ) . |
|||||||||
Из краевых условий (2.14) следует, что |
|
|
||||||||
|
|
bit) |
|
|
|
|
|
( k = l , 2(n+l)), |
||
Ch( t ) = |
J Ak(t, z)v(t, z)dz, |
|||||||||
|
|
ait) |
|
|
|
|
|
|
|
|
причем функции Ak(t, z) |
определены однозначно. |
|
||||||||
Подставив эти выражения в (5.15), получаем уравнение |
||||||||||
(5.13), в котором |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(71+ 1) |
|
|
|
|
Lv(t, 0, z) — L(t, 0, z) + |
X j Ak(t, z) lk(t, 0), |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
h= 1 |
|
|
|
|
|
|
2(77+ 1) |
|
[0—a(0] h |
|
|
|||
|
S v(t, 0, z) = |
V |
|
|
|
|||||
|
+ J |
|
|
|
h\ |
Ah(t, z) + |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ |
(0—2) 2тг+1 |
|
г< 0; |
|
|
|||
|
|
( 2 n + l ) |
Г |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
0, |
2> 0. |
161 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
построения уравнения |
|
(5.14) |
воспользуемся формулой |
||||||||
|
| j £ z 0 y fM (e )d 0 = J |
|
|
|
|
|||||||
|
|
l-h- 1 |
|
|
(z—a)i+h+i |
|
|
|
||||
|
|
Ц |
|
№ |
) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(i+ fe+ l)I |
|
|
|
||||
|
|
.=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Умножив уравнение |
|
(5.11) |
|
|
(Q—z ) n |
|
и проинтегрировав |
|||||
|
на —-— |
— |
|
|||||||||
по г в пределах от a ( t ) |
|
до |
0, |
приходим к уравнению |
(5.14), в |
|||||||
котором |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lw(t, 0, г) = |
• ( - 1) |
7 1 + 1 |
^1t) |
|
(0—т) 2 п + 1 |
|
■Rxx(z, x)dx+ |
|||||
|
|
( 2 п + 1 ) ! |
|
|||||||||
|
|
a K n + i ( 0 |
|
|
|
|
||||||
+ |
( - 1) n+i |
Z |
( - 1 ) ^ ( 0 |
|
{ Z — 0 ) 2 ( n - i ) + l |
2< 0; |
||||||
K n + 1 ( t ) |
i = 0 |
|
|
|
|
|
[2{n |
i) + 1 ]! |
|
|||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
z > 0 ; |
|
|
f w { t , 0 ) |
( - 1) n + 1 |
1 |
(0—T) 2 n + l |
■ |
R y x ( t , x)dx\ |
|
|||||
|
|
aKn+i(t) |
aJ(() |
|
(2 n + l)! |
|
|
|
||||
|
|
|
|
n + l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( - ! ) » - < + ! K i ( t ) |
X |
|
||||
|
|
|
|
i = k + i |
|
|
R n + i ( t ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
X |
[0—a (0 ]ft+2(" - i+1> |
(k= |
0, n). |
|
|||||||
|
[k-\-2(ti—i+ 1) ]! |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
З а м е ч а н и е |
5.2. Постоянные |
w<-h'i[t,a{t)] в уравнении (5.14) выби |
||||||||||
раются из условия удовлетворения краевым условиям |
(5.12). |
|
||||||||||
Уравнения (5.13) и (5.14) эквивалентны. Область примене ния первого из них определена возможностями решения'в об щем виде полученной выше системы линейных алгебраических уравнений, а второе может быть успешно решено в том случае, когда известна резольвента ядра Lw(t, 0, z).
Рассмотрим теперь вопрос о сходимости регуляризованного решения к точному для практически важного случая n= —1, Ко=1, когда уравнение (2.13) является интегральным уравне нием Фредгольма второго рода:
ьт
aw (t, 0) + J w(t,x)RXx(x,Q)dx~Ryx(t,Q).
O(t)
11 — 2733
ГЛАВА V |
162 |
Это уравнение всегда имеет решение в L2[a(t),b(t)], если ядро и свободный член являются элементами этого пространства, так как оператор al + R o положительно определенный.
В работе [1.6] для произвольного интегрального уравнения
ь |
|
Ки — | и(х)К(х, Q)dx = f (6) |
(5.16) |
а |
|
доказана следующая теорема.
Если для некоторой функции /(0 )e L 2[a, b] и квадратично суммируемого ядра К(х, 0) существует решение u0(t) уравнения (5.16) в Ь2[а,Ь], то относительно сходимости в Ь2[а, Ь] решения цр(т) уравнения
(3w3+/C*/CU|5= /C*/6 |
|
(5.17) |
|
при р-М) к и0(х) справедливы |
следующие |
утверждения: |
|
а) для сильной сходимости необходимо и достаточно вы |
|||
полнение условия 6 = о (Ур); |
необходимо |
и достаточно, |
чтобы |
б) для слабой сходимости |
|||
6= 0(УР), |
|
|
|
Здесь р>0 — параметр регуляризации; |
|
(5.16) |
|
/б — приближенное |
значение правой части |
||
11/-/бНь2^ 6 . |
|
|
|
Запишем уравнения (5.1) и уравнение Фредгольма второго рода в операторной форме
RoW=f\
aWa.+RoWa— fe,.
Уравнение (5.17) с учетом самосопряженности оператора Ro принимает в данном случае вид:
fiw$-\-Ro2Wfi=Rof(j.
Обозначив
A = w a — аур,
после несложных преобразований находим
(a ,R 0+ R o 2) A = ( $ I — a R o )W fi .
Отсюда, используя перестановочность функций от одного оператора, получаем
1|Д|1тУ =SS||р/—a^ollwll (р/—R o 2)
163 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Это выражение в совокупности с неравенством треуголь ника
\ \ w a — I I АЦж+И^Р— w \ \ W
показывает возможность применения вышеприведенной теоремы
крассмотренному уравнению Фредгольма второго рода.
Взаключение параграфа покажем, как упрощается приме нение метода регуляризации в случае решения уравнения (5.7).
Выбрав функции
Ki(t, т) =Кг>0
постоянными, получаем на основании (2.13) следующее выра жение для регуляризованного уравнения Винера—Хопфа:
П + 1 оо
а ^ |
(— \)iKiwi-2i)(t)-{- | w{%)Rxx(t—%)dx = Rvx(t)\ |
(5.18) |
i=0 |
о |
|
|
71+1 |
|
nft(01 t=0,oo= X i ( - l ) ,'-ft^ i“ '(aift)(0|<=o.«»=0, i—k
(6 = 1 , п + 1).
Для выбора параметра регуляризации а в принципе при менимы все изложенные выше алгоритмы. В том случае, когда спектральная плотность входного сигнала Sx*(m) является дроб но-рациональной функцией, определение величины а осущест
вляется следующим образом.
5
Допустим, что при (о—>-оо функция Sxx(со) убывает как— ,
где Sxx — известная постоянная. Это предположение для физи чески возможных сигналов всегда выполняется. Учтем, что
5жж(и) = L*'(/co)Lj?(—/со),
где LF(s) =L{F(t)} — передаточная функция формирующего фильтра для процесса x(t);
L {-} |
— оператор преобразования Лапласа; |
F (t) |
—■импульсная переходная функция формирующего |
|
фильтра. |
Следовательно, функция LF(jсо) стремится к нулю, при
у »Ьхх оо, как— г— .
wh
и