Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

Действительно, функционал (5.22) можно записать в виде:

Ь(<)

h = R yv(t, t) — J w(t, т)Дт[ 2Ryx(t, т) —

a(t)

b(t)

— J w(t,z)Rxx(x,z)dz j. o(0

Учитывая неотрицательную определенность корреляционной функции, определим действительную функцию F(т, 6) следую­ щим уравнением:

Следовательно, оператор R0 представим в виде

Ro = F * F ,

причем оператор F является интегральным оператором с ядром

F(x, 0).

Если оператор F обратим и элемент (F*)~if^W, то уравне­ ние (5.1) эквивалентно следующему:

а функционал (5.22) приводится к виду:

J3(w) = R yv(t, О — II ( ^ ) - 1/1!тк2+11 (F*)-'f-Fw\\w\

Таким образом, функционал (5.22) отличается только на по­ стоянную величину от функционала метода квазирешений для уравнения (5.24). Отсюда вытекает корректность постановки ва­ риационной задачи (5.22) при условиях (5.21).

формирующего фильтра, и, уравнение (5.23) записывается следующим об­ разом [5.16]:

Допустим, что уравнение (5.1) имеет решение w(t, т). Тогда для слу­ чайного процесса y(t) существует формирующий фильтр с импульсной пе­ реходной функцией.

t

H(t,z)= f w(t, t)F(t, z)dx.

Воздействуя на это выражение оператором обратного формирующего фильтра, получим после несложных преобразований следующий аналог урав­ нения (5.24):

/ w(t, t)F(t, Q)dx=H(t, 0). (5.25)

По предположению, корреляциониая функция, а следовательно и им­ пульсные переходные функции формирующих фильтров, не содержат со­ ставляющих типа 6-функций, поэтому к уравнению (5.25) применим метод квазирешений. Таким образом, существование формирующего фильтра у входного сигнала является достаточным условием применимости к уравнению идентификации (5.1) метода квазирешений в форме вариационной задачи (5.22) при наличии связи (5.21).

Отметим, что преобразование уравнений идентификации к уравнениям типа (5.25) позволяет обосновать сходимость решения регуляризованного уравнения Фредгольма второго рода к решению уравнения (5.1) без исполь­ зования выражения (5.17).

Аналогом параметра регуляризации a(t) в методе квазире­ шений выступает величина r(t), поэтому для выбора последней применимы предложенные выше методы определения параметра а(().

Другой путь решения этой задачи состоит в следующем.

В статье [1.8] показано, что в гильбертовом пространстве имеет место эквивалентность задачи нахождения квазирешений и задачи определения минимума функционала

||Я0Ви-Л12+а1М12

при связи

h(t, 0) — § Ryx{t,x)B(Q,%)dx.

“(f)

Параметр a(^) является множителем Лагранжа и определя­ ется из условия

bit) b(t) b(t)

На практике для определения значения a(t) используется метод последовательных приближений.

Отметим, что шар в гильбертовом пространстве слабо ком­ пактен [1.10], поэтому в случае гильбертова пространства W можно определить квазирешение задачи идентификации из ус­ ловия минимума функционала (5.22) на множестве

\\W—

где w* — некоторая фиксированная функция.

Особенно эффективным является выбор в качестве ш* зна­ чения функционального параметра, определенного в результате предыдущей идентификации исследуемой системы. Этот прием наряду с устойчивостью получаемых решений позволяет значи­ тельно сократить объем вычислений, особенно при решении за­ дачи идентификации методом последовательных приближений.

5.4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИДЕНТИФИКАЦИИ, ПРИВОДЯЩИХ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВОЛЬТЕРРА

В предыдущих параграфах этой главы рассматривались во­ просы преобразования уравнения (5.1) к интегральному урав­ нению Фредгольма второго рода.

В тех случаях, когда относительная величина погрешностей измерений и действующих в исследуемой системе помех неве­ лика, использование функционала потерь (2.9) приводит к из­ быточным вычислениям при решении задач идентификации.

Рассмотрим другой способ решения поставленной задачи, основанный на применении теории интегральных уравнений Вольтерра.

Допустим, что модель системы описывается интегральным уравнением

(5.26)

to

где

w(t,x) = k(t)6(t—x)-\-k(t, х).

Решение уравнения (5.26) неединственно и не несет доста­ точной информации об искомой импульсной переходной функ­ ции. Один из возможных путей устранения неединственности решения состоит в следующем. Непосредственно из структуры уравнения (5.26) видно, что входной и выходной сигналы зави­ сят от момента t0 начала функционирования системы. Введя для удобства записи обозначение /о—0 и записывая сигналы системы как функции двух аргументов — текущего времени t и момента начала функционирования системы 0=S/, получаем следующее уравнение идентификации:

е

Считая, что сигнал х(х, 0) не содержит 6-функции и ее про­ изводных, и предполагая существование и непрерывность инте­ грала в правой части (5.27), находим

вследствие больших погрешностей реализации этой операции либо нарушения условий гладкости правой части (5.29), то для получения уравнения (5.29) следует воспользоваться интег­ рированием по частям в исходном уравнении. В этом случае

k(t, 0) =

d” +iki(t, 0) dBm+l ’