Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 110
Скачиваний: 0
171 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ
М2(х, 0) = |
1 |
dm+^x(т, 0) |
|
Хх(”»(в, в) |
dxm+l |
||
|
(-1)гп+1г (^,0) |
||
/2( * , 0 ) = - |
|
||
|
Хх(™)(0, 0) |
||
-*Фт )(0, в) = dmx (т, 0) |
первая, отличная от нуля про |
||
dxm |
|||
т=е +о |
|
||
изводная входного сигнала по первому аргументу.
Если входной сигнал является функцией только разности своих аргументов, т. е.
х(х, 0) = х ( х —0), |
(5.30) |
то уравнение (5.29) преобразуется в интегральное уравнение Вольтерра второго рода с ядром типа свертки. Решение задачи идентификации при этом значительно упрощается и может быть осуществлено при помощи преобразования Лапласа.
Теорема 5.3. Пусть входной сигнал линейной системы удов летворяет условию (5.30). Тогда выходной сигнал зависит от разности своих аргументов
y ( t , Q ) = y ( t - B ) |
(5.31) |
втом и только в том случае, когда система стационарна. Доказательство. Рассмотрим уравнение (5.26). Из этого
уравнения следует, что
г- 9
y( t, Q) = | w (t, B-\-x)x(x)dx.
о
Подставляя в это уравнение выражение для y(t, 0) из (5.31), получаем тождество:
W (t, 0—J—X) = w (t—0, т) ==w(t, 0—т ).
Для доказательства достаточности условий теоремы подста вим это тождество в вышеприведенное уравнение. В результате получим тождество (5.31).
Таким образом, в случае стационарности системы построе ние сигналов как функций двух аргументов не вызывает затруд нений.
Предположим теперь, что исследуемая система нестацио нарна, причем значения характеризующего ее сигнала g(t, 0) заданы в точках 0i , . . . , 0/г. Тогда для аппроксимации g(t, в) используются интерполяционные формулы [3.8] либо сплайн
ГЛАВА V |
172 |
функции [5.14], позволяющие получить достаточно гладкие ре зультаты. Если погрешности измерения значительны, то для ап проксимации экспериментальных данных следует применять устойчивые методы, развитые в работе [3.18].
З а м е ч а н и е 5.4. Сравнительно простой алгоритм решения рассматри ваемой задачи может быть получен на основе следующего подхода. При меняя преобразование Лапласа к ступенчатой аппроксимации искомой функ ции [5.24]
k
[*(<.ео-г(*,е<-1)] 1(0—е*);
g(t, 0о)=О,
заменяя в полученном выражении экспоненту при помощи формул Падэ [5.11] и возвращаясь в пространство оригиналов, приходим к достаточно гладкому выражению для g(t, 0).
Рассмотрим возможность решения уравнения (5.29) при по мощи одностороннего преобразования Лапласа.
Используя условие (5.30), находим
|
|
М1(т,0)=Л42(т,0) = |
||
|
|
1 |
dn+ix( х—0) |
|
|
|
*(">(0) |
= М (т—0). |
|
|
|
dxn+l |
|
|
к |
Подставляя |
это выражение в уравнение (5.29) и применяя |
||
последнему |
преобразование Лапласа |
по аргументу (t —0 ), |
||
получаем |
|
|
|
|
|
|
Lk .(t,s) [sn+'Lx(s) —x(”)(0)] |
||
|
Lht (t, s) |
|
xw (0) |
= Lft (t, s), |
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
где |
Lk. |
ki(t, |
t — z)e~szdz — |
параметрическая nepe- |
|
|
o |
|
|
даточная функция системы.
Отсюда следует, что изображение резольвентного ядра урав нения (5.29) определяется формулой
л*»)(0)
Lh (s) = 1-
5»+^*(5)
т
Например, при х (т —0) =
Xi |
(т-ер |
получаем |
|
i ! |
|
i=n
173 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ
т
LH(s)=i=2±lт----------
2 xism~i
i~n
Оценим теперь погрешность, возникающую при решении уравнения (5.29) методом последовательных приближений.
Обозначим через ktl(t,Q) значение /-го приближения и допустим, что
|
|M(<.0)|ss2j |
mir ----^ |
—9); |
||
|
|
г=О |
|
|
|
|
\ti(t, е |
) | ^ 2 |
ft |
(t~ 0 )f |
-fi(t-Q). |
|
|
r= 0 |
г ! |
|
|
Для |
итерированных |
ядер |
|
и погрешности еУ(/, 0) = k t(t, 0) — |
|
-kil(t,B) |
имеют место следующие оценки: |
|
|||
|
|
|
|
<-е |
|
|
|
|
*-е |
” |
|
|
|Вг!(^ 9) ] ^ Ё г!( /—0) = у |
^ |
|
||
оV —/+ 1
Применив к этим выражениям преобразования Лапласа по переменной (/ — 0), получаем
{ |
[Ы < 5)]'+1' |
|
ei‘ (/-0 )= L -O L H s ) |
1~ LMi (s)'} |
|
В частном случае при fi(t —0 )= / т ; |
||
Mi{\ —0)s=mj находим |
||
еil(t-Q)=f |
z=>nn(t—B). |
|
|
Отметим, что к решению поставленной в этом параграфе задачи возможен и другой подход. Рассматривая уравнение (5.27) и учитывая, что при ^<0
x(t, Q)=y(t, 0)=О ,
получаем, что функция y(t,6) является импульсной переходной функцией последовательного соединения двух систем с импульс ными переходными функциями w(t, т) и х(х, 0) соответственно. Отсюда следует [5.8], что
t |
|
w(t,Q)= J y(t, т)дг(т, Q)dx, |
(5.32) |
e
ГЛАВА V |
174 |
|
где х (т, 0) — импульсная переходная функция системы, обрат ная системе с импульсной переходной функцией х(т, 0), т. е.
t
J x(t, r)x~(x, e)dx = 6(t—Q).
в
Таким образом, решение задачи идентификации сводится к нахождению обратной импульсной переходной функции. Наи более просто эта задача решается, если входной сигнал удов летворяет условию (5.30). В этом случае
х~(х, 0) ~ х ~ ( х —0);
где Т -‘ {-} |
— оператор обратного преобразования Лапласа; |
|
Lx(s) |
— преобразование Лапласа функции x(t). |
|
Из уравнения (5.32) следует |
|
|
|
<-е |
|
|
w (t, 0) = J y(t,Q+x)xr(x)dx. |
(5.33) |
|
о |
|
Для физически возможных x(t,Q) функция х~(х, 0) содер жит 6-функцию и ее производные. Это следует учитывать при вычислениях, ибо в противоположном случае можно потерять отдельные составляющие решения.
В заключение данного параграфа рассмотрим вопрос о по строении для некоторых способов аппроксимации входного сиг нала дифференциальных уравнений, которым удовлетворяет искомая импульсная переходная функция.
Допустим, что входной сигнал является разложимой функ цией
X(t,Q)= J ], Фг(О%(0). г=1
Рассматривая x(t, 9) как импульсную переходную функцию, построим соответствующее ей дифференциальное уравнение
dlx(t, 0)
<2(Р г=0
Ш |
k |
175 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
Тогда функция х (t, 0) из (5.32) на основании общих свойств линейных систем определяется уравнением
V S i { t ) |
d'x-(t, 0) |
X п(/)б;(О(/-0). |
|
|
|
2= 0 |
dQ1 |
2 = 0 |
|
Если входной сигнал удовлетворяет условию (5.30), то ре шение уравнения (5.32) находится при помощи преобразования Лапласа по аргументу (/ — 0)
w(t, 0) = L _1 { |
Lv(t,s) |
1 |
Lx(s) |
У |
Далее рассмотрим вопрос о применении формулы (5.32) в том случае, когда
|
|
|
m —k |
|
|
|
|
|
x~(t, 0) = |
X |
* i ( 0 6 W - B ) + * i M ) , |
||||
|
|
|
2= 0 |
|
|
|
|
где функция |
хД /,0) |
квадратично интегрируема |
при 0 е О оД]. |
||||
Функция y(t, 0) |
односторонняя, поэтому легко |
показать, что |
|||||
выражение (5.32) |
эквивалентно следующему: |
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
w (t ,Q )= |
J y(t, t ) x i ( t , 0 |
) c?t -|- |
|
||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
m —k |
|
|
0) |
|
|
|
+ X |
(-1)^(0 diy(t,dfr |
|
||||
|
|
2 = 0 |
|
|
|
|
|
m —k |
|
|
m —h—l |
|
|
|
|
- L |
Ь®(/-0) X |
(-l)r*r+i(0 |
dry(t, 0) |
0=t-0 |
|||
i=i |
|
|
r=0 |
|
|
dQr |
|
Допустим, что в уравнении (5.26) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
П |
(т—0) » |
|
|
|
х(х,В)= |
X |
|
||||
|
|
Л |
|
||||
|
|
|
|
i = r |
|
|
|
(xr(t, 0) Ф0).
Подставив это выражение в (5.27), после несложных пре образований получаем,что
dnu(t, 0) |
e=i—е •6(f—0) — |
dn+iu(t, 0) |
w (t, 0) = |
dQn+l |