Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

функции

ап и Ьп стремятся

соответственно

к

конечным

пределам

а и Ь,

то:

1)

функция

ап

± Ъп стремится

к пределу

а

± Ь;

2)

функция

апЬп

стремится к пределу

ab;

3)

функция

—

стремится

к

пределу

- ^ - ,

причем

последнее

имеет

место

Ъп

Ь

при дополнительном

условии b =/= 0.

5.11.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

[ П Е Р В О Е О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ]

Выше мы определили понятие предела последовательности, или,

что то же самое,

понятие предела функции

целочисленного аргу­

I /

ближением

точки

X к

точке а

соответствующая

точка

у = f (х)

л

приближается

к

некоторой

точке

i

i

А таким образом,

что

расстояние

к —*-

а

х

I у — А\

точки

у

f (х) от

точки

А становится сколь угодно малым,

когда расстояние

\ х — а \ точкой х

Іу-А]

от точки

а

делается

достаточно

— л

^

малым (рис. 77). Это значит, что

расстояние

\у — А | = |/ (х) — А

-*

У

y-t(xj

становится меньше любого напе-

р и с

7 7

ред заданного сколь угодно

малого

положительного числа е, когда рас­

стояние

I X — о I

делается

меньше

Определение.

Число

А

называется

пределом

функции

f (х) при

X, стремящемся

к а,

если

для любого

наперед заданного

положитель­

ного числа

г можно

указать

такое

положительное

число

б (вообще

говоря,

зависящее

от г), что для всех х, отличных

от а и

удовлетво­

ряющих

неравенству

\х

— а\

<

о , будет

иметь

место

неравенство

\ f ( x ) - A \ < E .

В этом

случае пишут

lim / (х) =

А

или / (х) -+ А при х -> а.

В этом

определении

е — любое

положительное

число; следова­

тельно, оно может быть и сколь угодно

малым.

Пример. Доказать, что

lim

* + 3

= 4 ,

(5.16)

*~і 2* — 1

Исходя из определения предела функции, надо

показать, что для вся­

кого е > 0 можно найти

такое

число

б >

0, что для

всех х, удовлетворяю­

щих

неравенству

\х—

\\<і

(5.17)

будет

иметь место

неравенство

х + 3

< е .

(5.18)

2х — 1

Преобразуем

левую

часть

неравенства

(2.18)

X + 3

— 4

7~-7х

— 7

х -

1

2х-

2 х — 1

2х— 1

так,

что оно примет вид

X— 1

2х—

1

2х

>--

(5.19)

Преобразуем

левую

часть

этого

неравенства

2х-

2х — 2 f 2 —

+ 2

_ >

2

+ - L = *L±L

I

В

8

Отсюда

\ х -

Ц

<

2е +

7

(5.20)

Итак, для всех х,

удовлетворяющих

неравенству

(5.20),

выполняется

неравенство (5.18), что

и требовалось

доказать; здесь

ô =

р

•

•

2е +

7

5.12.

ПРЕДЕЛ

ФУНКЦИИ

[ВТОРОЕ

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е )

Понятие

предела

функции

можно

в известном

смысле

свести

к понятию предела последовательности. Пусть / (х)

- Л при х

а.

Тогда, задав произвольное число е > 0,

можно

будет

указать

та­

кое

ô

>

0,

что

из

неравенства

I X — а

|

<

С

о

(5.21)

будет

следовать

неравенство

| / ( х ) - Л | < е .

(5.22)

Рассмотрим

произвольную

последовательность

{хп\

=

xlt

х 2 ) >

х3, . .

. ,

хп,

. .

. значений

аргумента

х,

принадлежащую

области

определения

функции

у

= f (х)

и имеющую своим

пределом число

a

(limx„

=

a).

Последовательность

соответствующих

значений

функций у =

f (х) 'будет

{/ (*„)}

=

\уп)

=:

У і ,

у%,

у3, . .

. ,

уп, . . .

Из

того,

что

lim хп

=

а,

следует,

что

можно

указать

такое

на­

туральное N,

что для

всех

n

у

N

будет

\хп

— а \ <

о .

Но тогда

на

основании

(5.21)

и

(5.22)

можем

утверждать, что

для

тех

же,

п У N будет иметь место неравенство

\уп — А \ <

е,

откуда

сле­

дует,

что

последовательность

{уп}

имеет

своим

пределом число А

(lim у„ =

А).

Определение. Если

для любой

последовательности

{хп\

значений

аргумента

х,

принадлежащей

области

определения

функции

f

(х)

и стремящейся

к

a (limx n

•-- а),

соответствующая

последователь­

ность

{f (хп)}

значений

функции

имеет

своим пределом

всегда

одно

и то же А,

то это

А называется

пределом функции

f (х) при х

->

а.

В

определении

предыдущего

параграфа а и А

являются

чис-

ный характер. Если Л — число,

то

предел

называется к о н е ч -

н ы м; если же Л есть один из символов +

оо или — оо, то предел

называется б е с к о н е ч н ы м

или

н е с о б с т в е н н ы м .

Если а — число, то, как было отмечено в предыдущем

параграфе,

определение

предела функции

/ (х)

при х

-> а вовсе не требует,

чтобы функция / (х) была определена

в точке а. Поэтому

в этом слу­

чае

на последовательность \хп\,

вообще говоря, нужно

наложить

дополнительное условие: хп =/= а при всех

п.

Если окажется, что по крайней

мере для двух

последователь­

ностей [х'п\ и {х'^} значений аргумента х,

стремящихся

к а,

соот­

ветствующие

последовательности

{/ (х'п) \ и

{/ [х"п)\

значений

функ­

ции

f (х) стремятся соответственно к двум

различным пределам А'

U m - £ ± 1 . =

41.

(5.23)

х - 1

2х

— 1

Докажем теперь то же самое с

помощью

второго

определения

предела

функции.

X -4- 3

Областью определения функции

—— является,

очевидно, множество

2х — 1

всех

действительных чисел,

исключая число

Ѵ 2 .

Пусть

{хп}

=

х1,

х 2

• • •

>

хп,

. . . — произвольная

последовательность

значений

аргумента

х,

удовлет­

воряющая

двум

требованиям: хп ф —— при

всех

п

и

хп

~> 1;

соответствую-

щая

последовательность

значении

функции

будет:

2х — 1

Х± —f 3

Х%

3

ДГд - j - 3

1 2хп

— 1 I ' 2хг—\

2х2 — I

2х3 — 1

На

основании

известных

теорем

о

пределах

последовательностей

(см.

§

5.10)

для

этой

последовательности

находим

lim

Х п

+ 3

=

lim (хп

+

3)

=

\\тхп

-\~ І і т З

=

1 +

3

=

4

2хп

— 1

lim (2хп

— !)

Іігп 2 П т хп — lim 1

2 - 1 — 1

Итак,

для любой последовательности {хп}

значений аргумента,

стремя-

щеися

,

последовательность

!

( хп

+

3)

.,

,

к 1, соответствующая

1 значении

функции

X -4- 3

W

-

i j

— —

всегда

стремится

к

пределу

4;

но

отсюда

и

следует

(5.23).

2х—

1

Пример 2. Исследовать существование предела

l i m sin

х.

Рассмотрим

следующую

последовательность

значений

аргумента

х:

{x n J

=

[пл]

= л,

2л,

Зл. . . .

Д л я

этой

последовательности

lim хп

=• lim я я

=

+

оо.

Но

sin

хп

=

=

sin пл

=

0 для

всех

п; следовательно,

последовательность

{sin

соот­

ветствующих

значений

функции sin х стремится

к

пределу

0.