Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Скачать файл (7,12Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 74

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где D2 и D3— определители матриц, получающихся из матрицы (1.36) заменой соответственно второго и третьего столбцов на стол бец из свободных членов:

" и	Ь і	ахз	(1.41)
а 2 і	b2	a23	(1.41)
#•>,	èo	a
a n	ai		(1.42)
			(1.42)
*31	4 32

Так же, как и в случае системы двух уравнений с двумя неизвест ными, системы уравнений (1.35) и полученная из нее (1.40) вообще говоря, не эквивалентны. Однако имеет место лемма, доказательство которой дословно повторяет рассуждения, приведенные при до казательстве аналогичной леммы в случае системы двух уравнений.

Лемма. Всякое решение системы	уравнений (1.35)	является
также решением системы уравнений	(1.40).

Таким образом, все решения системы (1.35) находятся среди ре шений системы (1.40). В частности, если система (1.40) имеет только одно решение, то оно может быть лишь единственным решением системы (1.35), и если система (1.40) не имеет решений, то и система (1.35) тоже не имеет решений.

Приступая теперь к	исследованию	системы	уравнений (1.35),
так же, как и в случае	системы двух уравнений		с двумя неизвест
ными, рассмотрим два возможных случая: либо определитель D
системы отличен от нуля, либо он равен нулю.
1. D Ф 0. В этом случае система уравнений (1.40) имеет единст
венное решение
D	D	D	(1.43)

Следовательно, по лемме, система (1.35) либо имеет только одно решение, именно (1.43), либо не имеет решений. Непосредственной подстановкой значений неизвестных по формулам (1.43) в систему (1.35) убеждаемся, что они являются решением этой системы. На пример, подставляя в первое уравнение системы (1.35), получим

D	A L	- ^ - = — ( Я ц £ > і + a 1 2 D 2	+	a13D3)
D	D
D [ f l u ( М п + M 2 1 + b3A31) + a 1 2 ( M 1 2 + M 2 s
b3A32)	+ a 1 3 ( M i s + M a s + M e s ) ] = —		làt	(axxAlx

- f a12A12 +	fliHij)	+Ь2(ацАг1-\-а1гАю	+ а1яАю) +
+ b3 (аиАя1	+ a12A32	+ a13A33)] = -j-b1D = bx.

Таким образом, при D Ф 0 система (1.35) совместна и имеет единственное решение (система определенна). Это решение при помощи определителей может быть записано в виде

	«12	«13			Ьі	«13
ь3	«22	«23		«21	ь2	«23
ь3		« з з	V	«31	Ьз	Û33
а и		>	Л 2	«11	«12	«13
а и	« 1 2	«13		«11	«12	«13
« 2 1	«22	«23		«21	«22	а 2 з
«31	«32	«33		«31	«32	«33
		« и	«12	Ьі
		«21	.«22	h
		«31	«32	h		(1.44)
		«11	«12	«13		(1.44)
		«11	«12	«13
		«21	«22	«23
		Ö31	«32	Ö33

Полученный результат, как и для системы двух уравнений, является частным случаем теоремы Крамера применительно к си стеме трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

2.	D — 0. Обращаемся к определителям Dx,	D2, D3.
1)	Хотя бы один из определителей Dx, D2,	D3 отличен от нуля.

В этом случае система (1.40) несовместна, так как одно из уравне ний (именно то, у которого правая часть не равна нулю) не может быть удовлетворено никаким значением неизвестного. Следова тельно, по лемме и система (1.35) несовместна.

2) Все определители Dx, D2 и D3 равны нулю. В этом случае система уравнений (1.35) либо совместна, но имеет бесконечно много решений (система неопределенна), либо она несовместна. Это ут верждение принимаем без доказательства. Отметим лишь, что в случае совместности системы, она эквивалентна либо двум либо даже одному из ее уравнений.

З а м е ч а н и е .	Из	изложенного следует, что системы урав
нений (1.35) и (1.40)	эквивалентны только в том случае, когда оп
ределитель системы (1.35) отличен от нуля.
Пример 1. Исследовать		и решить	систему уравнений
	хх	+ 2*2 —	х3	=	1,
		х2 -f-	3*3	=	— 7,
	— Хх	~f~ 3*2 —	-^З = =		— 2.

Вычисляем

определитель

системы

1 2 — 1

17.

• 1

Определитель системы отличен от нуля . Следовательно, система сов

местна и имеет единственное решение,

определяемое

формулами

Крамера

(1.44). Вычисляем

определители

D 1 (

— 1

- 1 7 ;

D 2

— 7

3 =

17;

— 2

— 1

34.

Таким образом,

• 1

—

— 17

l ;

= — 2.

— 17

Пример 2.

Исследовать

систему

уравнений

2д^£ ——|

х2

— Зхз

Хі

— Х 2

— 2хд — 4,

З х 2

~Ь -^з

— 7.

Вычисляем

определитель

системы

—3

—2 =

Определ итель системы

равен нулю. Обращаемся

определителям

D x

D 2 и D 3

—31

— 1

50.

-7

Определители

D2 и D 3

можно уже

не вычислять, так

как из того, что

D j

отличен от нуля,

следует,

что

система

несовместна.

1.8.СИСТЕМА п Л И Н Е Й Н Ы Х УРАВНЕНИЙ С п НЕИЗВЕСТНЫМИ .

ТЕОРЕМА КРАМЕРА

Рассуждения, приведенные при исследовании системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, полностью применимы и к общему случаю системы п линейных уравнений с п неизвест ными:

Я ц ^ І	~Г ^12^2
	Û 2 %Х 2	Ь	(1.45)
			(1.45)
a à l X l	"Т" ап2Х2	Н~

матрица которой

а11	а12	. . аIn
^21 ^"22		l2n	(1.46)
			(1.46)
а„,	а„
*ЛІ "n2 •

Из системы (1.45) методом исключения выводится система урав

нений,	каждое	из которых содержит только	одно из неизвестных
хх, х2,	. . . -, хп.	Для получения уравнения,	содержащего только

одно неизвестное xk (k = 1, 2, . . . , п), следует обе части первого, второго, . . . , я-го уравнения системы (1.45) умножить соответст венно на алгебраические дополнения Axk, А2к, . . . , Ank элемен тов k-ro столбца матрицы (1.46) и произвести почленное сложение левых и правых частей полученных равенств. Таким образом по

лучается	система уравнений
		Dxx	=	Dlt
		Dx2	= D2,			(1.47)
						(1.47)
		Dxn = Dn,
где D	определитель	системы уравнений (1.45)
		la,,	a,,	. . .	a.
		11 "12			l2n
	D	^21 ^22			l2n	(1.48)
	D	^21 ^22				(1.48)
		anl	an2	• • •	unn

a Dx, D2, . . . , Dn —определители матриц, получающихся из матрицы (1.46) заменой соответственно первого, второго, . . . , п-го столбца на столбец из свободных членов системы уравнений (1.45)

	Ьх	аХ2	Чп		а 11	Ь2	а13 • •		• а1п
Dx	Ьх	а22	12п	D,	і2Х	Ь2	а	23	4
Dx				D,				23	2п
		*п2	'ПП		а„і	Ьп	ап3
		*п2	'ПП
			a i i
			а		"2п—\				(1.49)
			- 21		"2п—\
			- 21
			ni	п2	апп-1		Ьп
В отношении данной системы уравнений (1.45) и полученной из
нее системы (1.47) справедлива следующая лемма:
Лемма.	Всякое		решение	системы уравнений					(1.45) является
также решением системы (1.47).
Далее	следует		рассмотреть	два	случая:

1. Определитель D системы (1.45) отличен от нуля. В этом слу чае система уравнений (1.47) имеет единственное решение

хл =	£і_	у _ A L	у =	£п	(1.50)
хл =	D '	D ' ' '	П	D

и, следовательно, по лемме система (1.45) либо имеет только одно решение, именно (1.50), либо совсем не имеет решений. Непосредст венной подстановкой значений неизвестных по формулам (1.50) в систему (1.45) убеждаемся, что они являются решением этой си стемы. Таким образом, при D Ф 0 система (1.45) совместна и имеет единственное решение (система определенна). Это решение при по мощи определителей может быть записано в виде

a12

. • aln

Ь,

«13

« m

0-22

• • а2П

a 2 i

«гз

Хі-

&П2

• •

ann

an3

a u

• aln

« 1 2

•

« 1 2

« 1 Л

° 2 1

a 2 2

•

a2tl

аП2 • • • ann

22X

• • a2n-\

ann-\

n2 • '

(1.51)

° 1 1

« 1 2

« i r a

« 2 1

« 2 2

« 2 Я

a„

Полученный результат представляет собой теорему

Крамера

для системы п линейных уравнений с п неизвестными.

Теорема Крамера. Если

определитель

системы

п линейных

урав

нений

с п неизвестными

отличен

от нуля,

то система

совместна

имеет

единственное

решение

(система

определенна).

этом

реше

нии каждое неизвестное

1, 2,

. . . , п)

равно дроби,

знаме

нателем

которой

является

определитель

системы,

а числителем

—

определитель

матрицы,

получающейся

из

матрицы

системы

заме

ной k-го столбца

на

столбец

из свободных

членов.

Определитель

системы

D = 0.

этом

случае

обращаемся

к определителям Dlt

D2.

. . . , Dn.

1) Если хотя бы один из определителей Dlt

D2,

. . . , Dn

отли

чен от нуля, то система уравнений (1.45) несовместна,

так как при

этом одно из уравнений

системы (1.47) (именно то, у которого пра

вая часть не равна нулю) не может быть удовлетворено

никаким

значением неизвестного.

2) Если все определители Dlf

D2,

. . . ,

D „

равны

нулю,

то

система

уравнений

(1.45)

либо

совместна,

но

имеет

бесконечно

Смотрите также файлы

Каменецкий, Л. Е. Экономическая эффективность основных фондов на карьерах.pdf

Каневский, В. М. Пособие стрелочнику.pdf

Клюковкин, В. Н. АСУ в легкой промышленности.pdf

Количественные методы в мелиорации засоленных почв..pdf

Комаров, В. Н. По следам бесконечности.pdf

Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно