Файл: Даниленко, Д. К. Конспект лекций по курсу начертательной геометрии. Ортогональные проекции.pdf

-165 -

§26. Способ плоско-параллельного перемещен.,я

Этот способ, предполагает перемещение заданного геометричес­ кого элемента в пространстве так, чтобы каждая точка этсго элемен

та перемещалась в плоскости параллельной какой-либо плоскости про екций.

Как видим, это соответствует нашему представлению о вращении вокруг проецирующей оси, т .к . и в этом случае происходит аналогии ное перемещение точек заданного объекта.

И в самом деле, плоско-параллельное перемещение можно рас­ сматривать как вращение вокруг проецирующей оси.

Рассмотрим эту связь на примере определения натуральной ве­ личины отрезка.

З а д а ч а

Определить натуральную величину заданного отрезка AB спосо­

бом плоско-параллельного перемещения (рис. 106). Будем переме­ щать отрезок параллельно плоокости н, т .е . превратим его во фрон­

талъ. При этом точка А будет перемещаться в горизонтальной плос­ кости , а точка В - в плоскости R , фронтальные следы которых будут проходить через одноимённые проекции этих точек.

Особо отметим, что в процессе этого перемещения отрезка AB.

угол наклона его к плоскости Н не изменяется, а значит не изме­

няется и длина горизонтальной проекции отрезка.

Отсюда ясен ход решения задачи: горизонтальную проекцию от­ резка AB, не меняй её длины, расположить в произвольном месте чертежа параллельно оси ОХ (отрезок Q, Ь ( ) .

- 166 -

Рис. 107

- 167 -

и из середены этих отрезков восставим к ним перпендикуляры.

Точку пересечения этих перпендикуляров можно рассматривать,

как горизонтальную проекцию оси перпендикулярной плоскости проек­ ций н. вращением вокруг которой осуществлён поворот отрезка из положения AB в положение А,В,. Этот поворот делается вращени­

ем ведущего радиуса id . .

Для того, чтобы увидеть решение этой задачи перемещением отрезка параллельно плоскости проекций V , достаточно посмо­ треть на рис. 106 "вверх ногами".

З а д а ч а

Определить, способом плоско-параллельного перемещения, на­ туральную величину заданного треугольника АВС (рис. 107). Пе­ ремещая вершины заданного треугольника в плоскостях параллель­ ных одной из плоскостей проекц”й, нельзя спроецировать его в натуральную величину.

Приходится одним перемещением превратить заданную плоо-

кость в проецирующую, а вторым перемещением, параллельно вто­ рой плоскости проекций сделать плоскость треугольника - плос-

- 168 -

костью уровня. При атом заданный треугольник спроецируется в на­

туральную величину.

Для превращения заданной плоскости АВС в проецирующую, дос­

таточно провести в вей произвольную горизонталь и переместить этот треугольник в. пространстве так, чтобы горизонталь стала перпенди­

кулярна фронтальной плоскости проекций. При этом,горизонталь спро­

ецируется на плоскость V в точку, а треугольник АВС - в прямую

линию. В плоскости треугольника проводим горизонталь СІ и горизон­ тальную проекцию треугольника расположим в произвольном месте эпю­ ра так. чтобы горизонтальная проекция горизонтали (ГПГ) стала івр-

Впроцессе поворота, вершины треугольника будут перемещаться

вгоризонтальных плоскостях ѵЬ*, S , и б ,, на фронтальных следах

которых, в проекціонной связи, и найдутся фронтальные проекции

точек на одной прямой. Второе перемещение производим параллельно

- 1 6 9 -

ЛЕКЦИЯ ДЕВЯТАЯ

Способы преобразования проекций

§27. Способ впадения вокруг линий уровня

Влекции восьмой уже упоминалооь, что для всех случаев вра­

щения остаётся справедливым утверждение, что точка вращающаяся вокруг какой-либо оси, перемещается в плоскости перпендикулярной этой оси.

Поэтому, можно утверждать, что точка вращающаяся вокруг пря­ мой параллельной горизонтальной плоскости проекций Н, т .е . вокруг горизонтали перемещается в плоскости перпендикулярной этой плоо-

кости проекций, т .е . в горизонтально-проепирующей плоскости.

На рис. 108 представлено наглядное изображение двух плоскос­ тей проекций, горизонтали ВС и вращавщейоя вокруг неё точки А.

Видно, что это вращение происходит в горизонтально-проепирующей плоскости Р. В тот момент, когда вращающаяся точка А касается го­ ризонтальной плоскости 5 , проведённой через ось вращения, рас­ стояние от неё до оси (радиус вращения точки) проецируется ва плос­ кость Н в натуральную величину (отрезки 0 ,0 и 0 ,0 ) .

Приведённое наглядное изображение (рис. 108) Должно помочь пониманию решения этой задачи на эпюре.

З а д а ч а

ТРчку А, вращением вокруг горизонтали ВС, совмеотить о го­ ризонтальной плоскостью <3 проведённой через эту горизонталь

(рис. 109).

- I 7 I -

Мы уже установили, что точка А будет перемещаться в гори­ зонтально-проецирующей плоскости Р перпендикулярной оси враще­

ния-горизонтали ВС. Горизонтальный след этой плоскости должен проходить через одноимённую проекцию точки А, иначе эта точка не будет лежать в плоскости Р. С другой стороны, нам известно условие перпендикулярности прямой и плоскости: плоскость, пер­

пендикулярна прямой, если следы плоскости перпендикулярны одно­ имённым проекциям прямой.

Поэтому, горизонтальный след горизонтально-проецирующей плоскости Р, проводим через горизонтальную проекцию точки А, пер­

пендикулярно одноимённой проекции горизонтали ВС.

Поскольку точка А, вращаясь вокруг этой горизонтали, дви­

жется в горизонтально-проецирующей плоскости Р, горизонтальная

проекция точки всегда будет находиться на горизонтальном следе плоскости Р.

Но, по уоловию задачи, нам нужно найти проекции точки А,

когда она окажется в заданной горизонтальной плоскости <5 . Го­ ризонтальная проекция этой точки, как уже говорилось, найдёт­

ся на одноимённом следе плоскости Р на таком расстоянии от го­ ризонтальной проекции оси, на котором сама точка А находится от оси в пространстве.

Как видим, задача сводится к определению расстояния от точ­ ки До линии уровня, т .е . к задаче уже рассмотренной нами в треть­ ей лекции (рис. 48). Там указывалось, что на основании уоловия проецирования прямого угла, горизонтальной проекцией перпенди­ куляра опущенного из точки на горизонталь, будет перпендикуляр опущенный из горизонтальной проекции этой точки на одноимённую проекцию горизонтали.

- 172 -

Поэтому, точка 0 (см. рис. 109) будет горизонтальной про­

екцией основания перпендикуляра опущенного из точки А на гори­

зонталь ВС.

В проекционной связи, на ФПГ найдётся фронтальная проек­ ция точки Ö . Отрезок АО и является радиусом вращения точки

А вокруг ВС.

Способом прямоугольного треугольника определяем истинную величину этого радиуса ( R ) и из точки О , как из центра, де­ лаем засечки этой величиной, в обе стороны на горизонтальном следе плоскости Р, получая точки Ö , и С1г .

Фронтальные проекции этих точек найдутся в проекционной связи на одноимённом следе плоскости -S .

Точки А, и А2 , и есть точки пересечения тректории враща­ ющейся точки А - с горизонтальной плоскостью . S .

Способом вращения вокруг линии уровня очень удобно опре­ делять истинную величину угла между двумя пересекающимися пря­ мыми. Для этого достаточно пересечь заданные прямые произволь­ ной прямой уровня и повернуть их вокруг этой прямой до парал­ лельности плоскости проекций.

Точка пересечения заданных прямых при этом совпадает с плоскостью уровня, проходящей через проведённую прямую уровня.

Таким образом, задача сводится к примеру только что решённому нами.

З а д а ч а

Определить натуральную величину угла между заданными пе­ ресекающимися прямыми AB и ВС (рис. ПО). В плоскости АВС про­ водим горизонталь AI и вращая вокруг этой горизонтали совмес-

- 173

тим вершину угла - точку В о горизонтальной плоскостью -S, про­ ведённой через горизонталь.

ВО), определяем его истинную величину и этой величиной из центра О делаем засечку на следе плоскости Р, получая точку b t .

Соединив точку Ь, с горизонтальными проекциями точек А и I

отрезками прямых, получаем угол оС - искомый угол между задан­ ными, пересекающимися в точке В прямыми.

Все построения проводятся в полном соответствии с предыду­ щей задачей. Если повернуть "вверх ногами" эпюр изображённый на фиг. НО. мы увидим решение той же задачи, проведённое вращением вокруг фронтали.

В "Пособии по практическим работам курса начертательной ге­ ометрии" на странице 20 (рис. 14) рассмотренным способом решена задача по определению натуральной величины треугольного отсека плоскости. Помимо этого, там же подробно разобрано определение угла между прямой и плоскостью (Стр. 29-30 рис. 26) с примене­ нием способа вращения вокруг линии уровня. Поэтому на этих за­ дачах, мы останавливаться не будем, а решим пример на определение угла между двумя плоскостями.

Из курса геометрии известно определение угла между двумя пересекающимися плоскостями, как угла заключённого между перпен­ дикулярами опущенными из произвольной точки пространства на эти

плоскости