Файл: Даниленко, Д. К. Конспект лекций по курсу начертательной геометрии. Ортогональные проекции.pdf

?лз -

ЛЕКЦИЯ ОДШАДШАЯ

§ 32. Пересечение поверхности прямой линией

Нам ухе давно известен порядок решения задачи по отыска­

нию точки пересечения прямой с плоскостью - наиболее важной

её так, чтобы сечение этой плоскостью заданной поверхности бы­ ло, по возможности, наиболее простым (прямые линии или окруж­ ность).

2. Построить сечение заданной поверхности вспомогательной плоскостью.

3. Отметить точки пересечения одноимённых проекций пост­ роенного сечения и заданной пряыой. Эти точки являются проекци-

яыи искомых точек пересечения этой прямой о заданной поверхнос­ ти.

В случае, если одноимённые проекции сечения и прямой не пересекаются, можно утверждать, что прямая не пересека ■" за­ данной поверхности. Как видим, в решение задач этого типа, в

качестве обязательного этапа входит построение проекций сече­ ния поверхности вспомогательной плоскостью, т .е . задача кото-

- 214 -

рой мы заикыаіись в предыдущей лекции. На рас. ІЭО, представ­ лено наглядное изображение трехтравной прнзны АВС и пересека­ ющей её прямой DE .

Заключим прямую DE в какую-либо плоскость х построим

сечение заданной призмы этой плоскостью Р. Как ухе упоминалось в предыдущей лекции, для втого достаточно найти точка пересе­

Оовериенно аналогичные рассуждения можно провести и для случая пересечения прямой о какой-либо кривой поверхностью.

Так, на рис, ІЗ І. показано построение точек I и 2 пересечения прямой AB о поверхностью цилиндра.

Сначала необходимо построить сечеиие цилиндра какой-либо плоскостью проведённой через прямую AB. Затем следует отметать точки пересечения построенного сечевня о заданной прямой, кото­ рые и будут являться искомым! точками пересечения.

Решим иесхолько задач этого типа.

З а д а ч а

Построить проекции точек пересечения прямой DE. с поверх­ ностью пирамиды ABCS (рис. 132).

-216 -

Всоответствии о приведённым выше порядком решения, заклю­

чим прямую DE во вспомогательную плоскость. Сначала выберем Фронтально-проецирующую плоскость Р, проведя фронтальный след её по одноимённой проекции заданной прямой. Как известно, точ­ ки і \ г ' * з ', в которых фронтальные проекции рёбер пирамиды a s / , b S шС£>' переоекают одноимённый след плоскости Р, будут

являться фронтальными проекциями точек пересечения ребер пирами­ ды о этой плоскостью. Горизонтальные проекции этих точек най­ дутся в проекционной связи, на горизонтальных проекциях ребер пи­ рамиды. Ооеднннв ати точки отрезками прямых, получаем горизон­ тальную проекцию искомого сечений (заштрихованный треугольник

123).

проекциями искомых точек пересечения этой прямой с поверхностью пирамиды. Фронтальные проекции этих точек найдутся на одноимён­

217 -

вспомогательной плоскости - горизонтально-проепирующую плоскостьQ

Горизонтальный след этой плоскости пройдёт по одноимённой

Это доказывает обоснованность высказанного ранее утверждения,

что любая вспомогательная плоокость даёт правильное реюение за­ дачи.

Возникает вопрос: почему мы,формулируя в начале лекцнн порядок ревения задач этого типа, записали, что обязательно сле­ дует обдумать выбор вспомогательной плоскости?

Для только что ревенной задачи это не имело значения, во ниже будет показана необходимость такого выбора.

З а д а ч а

Найтн точки, в которых заданная горизонтальная прямая AB

пересекает поверхность прямого кругового конуса (рис. 133).

Может показаться, что и в этом случае безразлично, какую вспомо­ гательную плоскость взять для решения задачи, но это ие так.

- 219 -

Заданную пряную можно заключать в горизонтальную плос­ кость р, горизонтально-проецирующую плоскость Q а в бес­ численное множество плоскостей общего положения.

Попробуем представить себе, какие сечения будут полу­ чаться при рассечении заданной конической поверхности атимн плоскостями, горизонтальная плоскость Р рассечёт конус по окружности радиуса Г .

Горизонтально-проецирующая плоскость - по гиперболе, а

плоскости общего положения, в зависимости от угла наклона их к плоскости н, могут рассекать заданную поверхность и по алляпсу, я по параболе, и по гиперболе, даже по треугольнику

(воли эта плоскость будет проходить через вервину конуса).

Любая из этих плоскостей обеспечивает нахождение иско­ мых точек пересеченяч, во, естественно, что наиболее проо-

тне ревення подучат, в первом и последнем случаях, т .к , про­ вести окружное» или прямые линии легче, чем построить ле­ кальную кривую.

Помимо этого, точность ревения выполненного при помо­ щи лекальной кривой, как правило, уступает точности построе­ ний сделанных циркулем или линейкой.

Рассмотрим решение задачи при помощи вспомогательной горизонтальной плоскости Р, в которую иакіючаем заданную прямую AB.

При этом фронтальный след плоскости Р пройдёт по одно­ имённой проекции прямой AB. Конус будет рассечён плоскостью

Р по окружности радиуса Г (расстояние от точки пересе­ чения фронтальной проекции очерковой образующей о одноимёя-

- 220 -

rum следом плоскости V - до оси конуса^ которая спроецирует­

ся на плоскость Н в натуральную величину* Точки пересечения этой окружности с горизонтальной проекцией заданной прямой ЛВ точки С и d - являются горизонтальными проекциями искомых точек пересечения. Фронтальные проекции этих точек найдутся в проекционной связи на фронтальной проекции прямой.

Доказательством того, что найденные точки С и D , при­

надлежат прямой является расположение проекций этих точек на

одноимённых проекциях заданной прямой AB. а то что упомяну-

а

тые проекции точек лежат на одноимённых проекциях окружности,

по которой поверхность конуса рассекается плоскостью Р, дока­ зывает, что эти точки расположены на поверхности конуоа.

прямую ВЗ .

Сейчас,нужная нам плоскость задана пересекающимися в точ­