Файл: Даниленко, Д. К. Конспект лекций по курсу начертательной геометрии. Ортогональные проекции.pdf

7 0 -

Рис. 49

Рис. 50

71

ЛШИЯ ЧЕТВЁРТАЯ

§ 14. Проецирование плоскости.

Плоскость на эпюре может быть задана тремя точками или сле­

дами, Рассмотрим последовательно оба эти способа,

а) плоскость заданная тремя точками Как известно, через три точки можно провести только одну

плоскость поэтому можно утверждать, что три заданные проекция­ ми точки вполне определяют на эпюре плоскость, причём только од­ ну.

Впредыдущей лекция приводилось определение параллельных

ипересекающихся прямых, кая прямых лежащих в одной плоскости.

Сейчас мы можем добавить, что такие прямые вполне опреде­

ляют собой одну н только одну плоскость, в которой онн располо­ жены.

72.

Конечно, ничего не изменяется и если соединить точки AB и

ВС отрезками прямых. Плоскость заданная этими пересекающимися в точке В прямыми также осталась той же плоскостью АВС.

Можно Рыло бы соединить заданные точки между собой отрезка­ ми прямых я получить треугольный отсек плоскости, но и это не

давало бы ничего нового, по сравнении с заданием этой плоскости тремя точками А, В я С.

Подводя итоги, можно записать, что: три точки заданные на

эпюре своими проекциями вполне определяют одну и только одну

плоскость, вне зависимости от того соединены они отрезками п р я ­

мых, или нет.

б) плоскоотъ заданная следами,

Прежде всего, введём определение: следом плоскости называ­

ют линию пересечения плоскости с плоскостью проекций.

В этом определении ясна связь с уже известным нам понятием

фровтальиым, а Pwпрофильным следом, т .е . к обозначению задан­ ной плоскости добавляется индекс соответствующей плоскости проек­ ций.

Точки, в которых заданная плоскость пересекает оси проек­ ций обознэ"аются той же буквой, с добавлением обозначения оси - - Р* - Рч " Рх •

74

Заданная на фиг. 50 плоскость наклонна, причём она: наклоне­

на от наблюдателя н пересекает плоскости проекций по следам, уг­

ли между которыми будут острыми. Такая плоскость называется ост­ роугольной плоскостью общего положения. Здесь .тоже видна связь

с язвеотным нам определением прямой общего положения, как прямой не параллельной ни одной ня плоскостей проекций.

На рис. 51 представлен эпюр такой плоскости .

Если аы бужем увеличивать угол наклона показанный на рис. 50

плоскости Р к горизонтальной плоскости проекций Н, то наступит момент, когда эти плоскости станут взаимно перпендикулярными.

В этот момент, углы между следами плоскости станут прямыми.

Продолжая наклонять плоскость р на оѳбя, мы снова получим плоскость общего положения, т .е . плоскость не перпендикулярную ни одной из плоскостей проекций, но теперь, углы между следами будут уже ту­ пыми.

На рис. 52 представлена такая плоскость - тупоугольная плос­ кость общего положения - р. На рис. 53 эта плоскость показана на эпюре.

§ 15. Плоскости частвого положения.

Как уже упоминалось, заданная плоскость может быть перпен­ дикулярна одной ши даже двум плоскостям проекций. Такие плоскос­ ти называются плоскостями частного положения. Можно представить оебе три плоскости соответственно перпендикулярные одной из плос­ костей проекций. Такие плоскости, по аналогии о прямыми перпенди­ кулярными плоскости проекций, мы будем называть п л о с к о с -

т я и и

X

76

Рассмотрим последовательно все шесть частник сллаев рас­

положения плоскости в пространстве.

I . Плоскость Р перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций. - горизонтальио-проепирующая плоскость.

На рис, 5А представлено наглядное изображение я эпвр такой

ПЛОСКОСТИ. Важно заметить, что у горизонтально-проецирующей плос­

кости фронтальный след всегда перпендикулярен оси ОХ, а профиль­ ный след - оси 0SJ.

Заметим также, что углы наклона горизонтального следа за­

данной плоскости к осям ОХ и ОУ - углы jb я t - соответствен­

но равна углам наклона самой плоскости Р к горизонтальной я про­ фильной плоскостям проекций.

Вознём в заданной плоскости Р три произвольно расположен­ ных точки. Совершенно очевидно (см. рис. 5й), что горизонталь­ ные проекции этих точек найдутся на горизонтальной следе плос­

кости Р - прямой Р^ Это явствует из того, что перпендикуляры опу­

щенный го зтих точек на плоскость Н, будут лежать в плоскости Р,

которая сама перпендикулярна плоскости Н, а основания этих пер­

7? -

и Рис. 55

С

Рис. 54- ; 0.

78

2.Если точка, прямая или плоская фигура лежат в горизон-

тально-проецирующей плоскости, то горизонтальные проекции этих геометрических элементов будут находиться на горизонтальном сле­ де этой плоскости.

2. Плоскость Q перпендикулярная фронтальной плоскости проекций.

фронтально-проепирущая плоскость.

На рис. 55 представлено наглядное изображение и эпюр такой плоскости. Как видим,у фронтально-проецирующей плоскости гори-

эонтальнвй след перпендикулярен оси С8, профильный - оси ОZ .

Точка, прямая иля плоская фигура, лежащие в такой плоскости,

спроецкруется на плоскость V на фронтальный след заданной плос­ кости (см. точку А на рис. 55). (Невидно, что углы об. я К на­ клона фронтального следа плоскости й к осям ОХ в 0 2 - рав­ ны углам наклона самой плоскости & соответственно к горизонталь­ ной и профильной плоскостям проекций.

3. Плоскость R - перпендикулярная профильной плоскости проекций.

ПроФильно-проешгруюдая плоскость.

На рис. 56 показано наглядное изображение и эпюр такой плос­ кости. Как видно, и горизонтальный, и фронтальный следы профиль-

ио-проецирующей плоскости параллельны оси ОХ. И здесь остаётся справедливым, что точки, прямые и плоские фигуры лежащие в прое­ цирующей плоскости проецируется на один из следов её, в нашем случае на профильный (см. точку В на рис. 56),

ти Ч соответственно к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций.

Мы рассмотрели три случая плоскостей перпендикулярных од­ ной из плоскостей проекций - плоскостей проецирующих. А. сейчас перейдём к рассмотрению плоскостей параллельных одной из плос­ костей проекций, значит, перпендикулярных двум другим плоскос­ тям проекций - плоскостей уровня.

4. Плоскость Т параллельная плоскости Н.

Горизонтальная-плоскость.

На рис. 57 показано наглядное изображение и эпюр горизон­ тальной плоскости. Как видим, фронтальный след такой плоскости

параллелен оси ОХ, а профильный - оси ОУ, т .е . оба следа пер- Г-

пендикулярны оси 0Z и сливаются на эпюре в одну прямую линию.

Горизонтального следа У заданной плоскости нет и не может быть, т .к . она параллельна плоскости Н. Горизонтальную плоскость часто задают одним фронтальным следом. Спутать её с профилыга- -проеішрующей плоскостью, у которой фронтальный след также па­ раллелен оси ОХ, нельзя, т .к . последняя, в отличие от горизон­ тальной плоскости, всегда задаётся не менее чем двумя следами.

Лежащие в этой плоскости точки, прямые или плоские фигуры про­ ецируются сразу на два следа (см. точку с на рио. 57).

5. Плоскость L параллельная фронтальной плоскости проекций

Фронтальная плоскость.

На рис. 58 представлено наглядное изображение и эпюр фрон­

тальной плоскости и точки D лежащей на ней. Как ви^М, у такой'