Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

где к — const, и известно, что начальное распределение х (при t = 0) является равномерным в интервале от — л

до л:

ФПК-уравнение для логарифмической плотности вероят­ ности в данном случае имеет вид

Легко проверить, что'это уравнение при указанном началь­ ном условии имеет точное решение вида

, t) = wn (t' — t) = exp (t' — t),

по формулам (2.23) последовательно находим

Видно, что для небольших значений т приближенные рас­ пределения весьма близки к точному, особенно при N = = 4, 6. Легко проверить, что полученные приближенные

Ц20

0,12

Ofl't

0,4

0,2

Рис. 2.1.

распределения совпадают с точным в отношении значении производных до соответствующего порядка (N ) в начале

координат.

Это свойство является общим для систем без шумов. Действительно, уравнения (2.19), а значит и выражения (2.23), получаются из общей бесконечной системы (2.11) без отбрасывания каких-либо членов. Поэтому найден­ ные из (2.23) или (2.19) коэффициенты являются точными, т. е. совпадают с соответствующими коэффициен­ тами точного решения.

Итак, данный метод применительно к системам без шу- $ов дает при любом заданном N решение, совпадающее

Вычисления и общий анализ с помощью формул (2.24) настолько упрощаются в сопоставлении с (2.23), что часто выгодно путем преобразования переменных или посред­ ством введения дополнительных фазовых координат (рас­ ширение фазового пространства) приводить объект к виду, при котором wij = 0 при / ф I, т. е. искусственным

путем обеспечивать автономность уравнений линейного приближения.

Если динамическая система линейна (аш = сцкы — = . . . = 0), то выражения для коэффициентов логариф­

мической плотности вероятности свободного движения становятся весьма простыми:

(2.25)

Такие же выражения получаются, конечно, при исполь­ зовании первых интегралов линейной системы (см. гла­ ву I). Действительно, согласно (1.53) для получения текущего распределения в свободной линейной системе следует в начальном распределении

П

+ -g“ 2 A°m XiXkXl + . . .

i, kt

координаты Xi заменить на

n

2 wik(0,t)xk.

Осуществляя такую замену для коэффициентов текущего распределения, получаем выражение (2.25).

Как уже отмечалось, довольно широким и интересным классом систем являются системы без прямых нелинейных связей. Для таких систем

и выражения (2.23) принимают вид

П

Ai (0 = 2 A*u>*i(0,t), v—1

П

Выражения (2.26) показывают, что для данного клас­ са систем справедливо указанное выше положение, что неустойчивость невозмущенного состояния объекта спо­ собствует сходимости ряда (2.8) и вызывает уменьшение Aijn ... s (t) с течением времени. Действительно, для

системы, неустойчивой в линейном приближении (по Ля­ пунову), функции wtj (t , t'), вообще говоря, —нара­ стающие функции времени t, а функции w^ (t', t) — убы-

§ 2.2] Ч А С Т Н Ы Е СЛУ ЧА И 55

лающие функции времени. При этом нарастание и убы­ вание может быть не монотонным, однако все wtj (0, t) —►

Xw^fo' ,t). . .wxa (t',t) — нарастающая (не обязательно мо­ нотонно) функция t'. Она обращается в единицу при V = t и становится сколь угодно малой при t —*■ оо на другом конце интервала интегрирования в (2.27), т. е. при t' = 0. Отсюда следует, что если F^.... х (t') есть убывающая функция £', стремящаяся к нулю при t' -»- оо, то величи­ на (2.27) — также убывающая функция t, стремящаяся к нулю при t -*■ оо. На основе этого и выражений (2.26)

при постоянных или убывающих во времени коэффициен­ тах ant... s последовательно получаем, что A t (t ) , A i} (t),...

. . . , Ань ... s (t) суть убывающие функции времени,

'N

стремящиеся к нулю при t -> оо.

Обратим внимание на следующее свойство свободного движения систем без прямых нелинейных связей. Рассмот­ рим два первых выражения (2.26). Если начальное рас­ пределение центральное симметричное, т. е.симметричное

V,IA=1

т. e. то же самое, что в линейной системе. Назовем сумму членов

ПП