Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 84

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

46 Р Е Ш Е Н И Е Ф ПК -У Р А В Н Е Н И Я [ГЛ. II

чает, что если после замены

(2.18)

мы решаем уравнения

коэффициентов, назначая A °ki,.. „,

и находим А да ... „ (т),

то в реальном времени мы

тем

самым

назначаем

ко­

нечное распределение и определяем предшествующее

(на

интервал т) распределение,

порождающее

заданное

ко­

нечное. Таким образом, мы решаем обратную задачу. Такой подход оказывается удобным при решении некото­ рых задач синтеза (см. главу IV).

Задача определения в общем виде числа N, необходи­

мого для получения с заданной точностью текущего рас­

пределения вероятностей,

столь же сложна, как задача

определения общих условий и скорости

сходимости

ря­

д ов - р е ш е н и й уравнений

(2.11),. (2.14),

Вероятно,

для

практики в данной области, как и во многих других, самым универсальным и доступным будет эмпирический способ, при котором о скорости сходимости и приемлемости приб­ лижения судят на основе сравнения решений, полученных при двух или более последовательно увеличивающихся значениях N. Для ряда (2.8), как и любого степенного ря­

да, сходимость, вообще говоря, ухудшается по мере уве­ личения аргументов xi. Это означает, что при любом за­ данном N «периферийная» часть распределения опреде­

ляется с ошибкой, могущей неограниченно увеличиваться по мере удаления от центра фазового пространства. Это один из основных недостатков метода рядов. Его можно частично преодолеть, ставя обязательным условием полу­ чение приближенного решения для In р в виде отрица­

тельно определенного полинома. Тогда на - периферии

приближенная

плотность вероятности

будет стремиться

к нулю, как

и истинная плотность

(в большинстве

случаев).

 

 

§ 2.2. Частные случаи

Для свободного движения исходной системы (Spq — 0) уравнения (2 .1 1 ) принимают вид

П

П П (2.19)

А

2

 

Р=1

8 2.21 Ч А С Т Н Ы Е СЛУЧА И М

Aik —

(apiApk -f- dpiiApi) 2

арщАр

p =i

 

p=i

 

 

 

— 6 2 a PPik>

 

 

 

p=i

^ifcl...s —

^

(aPi^Pfr'-..s + • • • +

a P jA t f t l . ^ )

 

p = l

N

N

 

 

n

(2.19)

—2 (flplkAplm...s 4~ •••4~ Q-prsApiKy.l)

 

P = l

N—1

 

N -l

- (Ar - i ) V - ^ ) S

+ • • ■+

 

'

'

' p—1

N—2

 

 

 

 

n

 

4” 0,ptr&Api...m)

•••

2 (a pik...rApJ+ •••+

 

"iv^2

n

P=1 N

 

 

 

 

 

4 ' apkl...sApi) — TV ^ ДР‘^--»'|4р =

 

 

 

P=1

iV+1

 

 

 

=

TV (TV 4" 1) 2

aPPik...4

 

 

 

p=>l

N+ 2

Эти уравнения интегрируются в общем виде в том смы­ сле, что их решение выражается через весовые функции линейного приближения исходного объекта. Эти функции удовлетворяют уравнениям линейного приближения

-ji Щ (*. О 4- S

(*.О - 0.

*,/ = 1 , 2, . . . ,п, (2.20)

k=i

 

 

 

 

и начальным условиям

 

 

 

 

I 1

при

i = к,

(2. 21)

 

=

при

i Ф к .

 

 

48

Р Е Ш Е Н И Е Ф П К - У Р А В Н Е Н И Я

[ГЛ. II

Функции с обратным порядком аргументов удовлетворяют сопряженным уравнениям

«М* »О S

0 — 0

(2.22)

к = 1

при тех же начальных условиях (2.21). Решение уравне­ ний (2.19) имеет вид

 

 

 

t П

 

 

 

д40= Ло 4" ^

&ppdt',

 

 

 

 

n

Ор=1

n

f п

 

 

 

 

 

 

А-г(I) = 2 A vwVl (0, t) -\~2^ ^ 2 ^ppv )им , t)dt,

 

 

V=1

 

 

v=l о p=1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

Aij (0 =

S

^v'^vi (0, t) ww (0, 0 +

 

 

 

v,H-=X

 

 

 

 

 

 

n

£

n

 

 

 

 

+

2 2

§ [з 2 appvix(o +

 

 

 

v,n=l 0

p—1

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

+

2

(P) -4p(01 w*i {t\ t) u>v-j(*'> 0

 

 

P =1

 

 

 

 

 

 

(0 —

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

=

2

 

 

им (0, £) Wpj (0, t) . . . u;xs (0, £) -(-

 

v.p....x=i

'"TT"

 

 

 

 

+

2

$

^

i) 2

app'j'i -‘-x(O +

 

v,P,....X=10

 

р=1

ДГ+2

(2.23)

 

 

 

 

 

 

 

iV

2

а рур...х (tr) A p (£')

-f-

 

 

n

P=1

iV+X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2

IgP^-?(Q

+

•••+ apv...p(t') 4[pX(i')] -+-

 

p=i

iv

^"?T^

§ 2.2]

 

 

 

Ч А С Т Н Ы Е СЛУЧА И

49

 

 

 

 

 

 

 

 

+ лГГТ 2 ^ a p t : ; : A ^

А р ^

(О + • : •

 

 

p=i

лГ^Г"

 

 

 

 

 

 

••• +

а Р^ ( г ' ) Л

ррх(0 ]

+

 

 

 

 

N—1

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

+ (ЛГ - 1 )3(tv-

2)'

2

N—2

(*')

 

(О i: • • •

 

V

 

Р=1

 

 

 

 

 

• •

• + аРч..х (О Apripx (Г)]

+ . . .

 

 

 

П

]V—2

 

 

 

 

‘ ‘

 

 

 

 

"b • • ■

 

дГ^Т 2 ^аррх ^

 

 

 

p=i

 

 

 

 

 

 

. .. - ) -

apvjx (/ ) ^.реф...х

)]}

X

 

 

 

 

 

^n ^T'

 

 

 

 

 

 

 

X

n?vi (t ', t)

w w

( t ' , t ) . . . w xs (t ', i) d£',

 

Непосредственно из этих выражений видно, что начальные условия удовлетворяются. Подстановкой данных выра­ жений в уравнения (2.19) с учетом соотношения (2.22), убеждаемся, что уравнения (2.19) обращаются в тожде­ ства.

Выражение искомых коэффициентов через фундамен­ тальную систему функций линейного приближения для больших п имеет существенные вычислительные преиму­

щества. Действительно, общий порядок системы уравнений

(2.23)

при ограниченном N (укороченная система) выра­

жается

формулой (2.17) (уравнение для А 0 во внимание

не принимается) и для значительных п, N, как указыва­

лось, весьма высок.

Между тем фундаментальное решение уравнений ли­ нейного приближения, по крайней мере для случая ста­ ционарной системы, может быть получено n-кратным ин­ тегрированием системы линейных дифференциальных уравнений размерности п. Дальнейшее согласно (2.23)

сводится к умножению, сложению и квадратурам.

Для иллюстрации'применения формул (2.23) рассмот­ рим простой пример. Пусть дана система первого порядках

х + к sin х = О,

Смотрите также файлы