Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 0
60 |
РЕ Ш Е Н И Е Ф ПК -У РА В Н Е Й ИЯ |
[ГЛ . И |
§ 2.3. Статистическая устойчивость невозмущенного состояния.
Равновесные распределения и их устойчивость
Понятие статистической устойчивости невозмущенного состояния, так же как и обычной устойчивости этого со стояния, относится к системам без шумов, т. е. к системам вида
it + ft (ян . . • , х п, 0 = 0 . |
(2.40) |
При рассмотрении статистической устойчивости началь ные условия считаются случайными, характеризуемыми
плотностью распределения р 0 |
(хи . |
. . |
, х п). Невозму |
щенное состояние хх = . . . . = |
х п = |
0 |
обладает полной |
статистической устойчивостью [1.13], [2.5], если при
любом начальном распределении |
р 0 (хи . . . , |
х п) теку |
|||
щее |
распределение |
плотности |
вероятности |
р {хг, . . . |
|
.. ., |
хп, t) стремится с течением времени к центральному |
||||
6-распределению: |
|
|
|
|
|
|
р (хи . . . , х п, t) |
-» |
6 (хи . . . , хп) при t -> |
оо. (2.41) |
|
Здесь |
|
оо, 6 (хи . . . , х п) = 0, |
|||
|
6 (0, . . .., 0) = |
||||
если хотя бы одна из координат отлична от нуля:
|
оо |
^ |
^ б (t'i, . .., яп) dx1 . . . dxn = 1 • |
|
— оо |
Более слабым является требование статистической устойчивости при заданном начальном распределении р 0.
Невозмущенное состояние является статистически устойчивым при заданном начальном распределении р 0 {хи . . . , х п), если при этом распределении текущая плотность вероятности стремится к центральной 6-функции 6 (хг, . . ., х п) с течением времени. Необходимым усло
вием статистической устойчивости невозмущенного со стояния является отрицательная определенность суммы ряда
ПП
2 |
“Ь ~2~ 2 |
AiftXiXfc + . . . |
i = l |
ш i, k—l |
§ 2.3] |
СТА ТИ СТИ ЧЕСКА Я УСТОЙЧИВОСТЬ |
61 |
и стремление с течением времени хотя бы части его коэф фициентов четного порядка к — оо.
Наряду с понятием статистической устойчивости не возмущенного состояния важное значение имеет понятие
устойчивости равновесного распределения вероятности.
Как указывалось выше, стационарным равновесным рас пределением плотности вероятности называется распре деление р (zi, . . . , хп), не зависящее от времени и
удовлетворяющее ФПК-уравнению. Равновесное распре деление может быть устойчивым и неустойчивым, причем здесь можно различать устойчивость в «большом» и «ма лом», как для детерминированных систем. Равновесное распределение устойчиво (асимптотически) в большом, если при любом начальном распределении текущее распределение стремится к равновесному с течением вре мени. Равновесное распределение устойчиво (асимптоти чески) в малом, если при любом начальном распределении, достаточно мало отличающемся от равновесного (норма отличия должна быть задана), текущее распределение с течением времени стремится к равновесному.
Кроме асимптотически устойчивых и неустойчивых равновесных распределений существуют нейтральные или просто устойчивые (не асимптотически) равновесные рас пределения. Отклонения от таких распределений не нара стают, но и не уменьшаются во времени.
Вообще говоря, 6-распределение можно также рас
сматривать как возможный вид равновесного распределе ния, и тогда между статистической устойчивостью состояния и устойчивостью распределения нет принципи альных отличий. Однако равновесными мы будем в даль нейшем называть установившиеся распределения, вы ражаемые обычными, не обобщенными функциями. На хождение равновесных распределений и условий их устойчивости представляет значительный интерес для мно гих динамических систем.
Рассмотрим сначала систему без шумов, т. е. свободное движение динамической системы с аналитическими ха рактеристиками. Коэффициенты текущего распределения для такой системы согласно предыдущему определяются уравнениями (2.19). Общее решение этой бесконечной системы линейных дифференциальных уравнений пред ставлено в виде (2.23).
62 |
РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У РА В Н Е Н И Я |
[ГЛ . I t |
Будем считать исходную динамическую систему ста ционарной, т. е. коэффициенты aih, ai:il, . . . постоянны
ми. Весовые функции линейного приближения в этом случае являются функциями разности двух аргументов: wih {t, О = wik (t — t'). Обратим внимание на первое из
выражений (2.23):
t п п
Л0= Л® 4- ^ 2J a.ppdt' = |
-f- t 2 арр• |
(2.42) |
о Р= 1 |
Р=1 |
|
Для стационарного равновесного распределения все коэффициенты, в том числе А 0, должны быть постоянными.
Отсюда следует, что одним из условий существования ста ционарного равновесного распределения в системе без шумов является равенство нулю следа матрицы а линей
ного приближения:
П
2 аРР = 0. |
(2.43) |
p= i
След матрицы а равен взятой с обратным знаком сумме
корней характеристического уравнения линейного при ближения
| к 1 + а | = 0.
Таким образом, сумма корней этого уравнения должна быть равной нулю:
^1 + ^2 + • • • + к п = 0.
Если хотя бы один корень имеет положительную действи тельную часть, то должен быть один или несколько корней с отрицательной действительной частью. Таким образом, вследствие условия (2.43) корни, не лежащие на мнимой оси комплексной плоскости, располагаются по обе сторо ны этой оси. Отсюда следует, что в случае наличия корней с ненулевой действительной частью все или часть весо вых функций wik (0, t) = wih (— t) неограниченно (экс
поненциально) нарастают с течением времени и согласно (2.23) равновесного распределения быть не может, так как Ai (t), A tj (t), . . . не стремятся к конечным пре
делам.
Приходим к выводу, что равновесное распределение может существовать только при расположении корней
S 2.3] |
СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ |
63 |
характеристического уравнения линейного |
приближения |
|
на мнимой |
оси. На мнимой оси комплексной плоскости |
|
могут располагаться мнимые корни и нулевые корни. Мни мые корни порождают незатухающие гармонические со ставляющие весовых функций wih. Вследствие этого,
как видно из (2.23), при наличии мнимых корней измене ние коэффициентов A t (г), A lh(t), . . . носит характер
незатухающих колебаний и стационарное равновесное распределение невозможно. Таким образом, стационарное равновесное распределение в системе без шумов может существовать лишь тогда, когда все корни характеристи
ческого |
уравнения |
линейного приближения нулевые: |
= 0 |
(i = 1, 2,. . . |
, п). В этом случае фундаменталь |
ная матрица линейного приближения есть единичная мат рица и выражения (2.23) с учетом постоянства коэффици
ентов |
аца, cintim, . . . принимают вид |
||
|
|
П |
|
А 0 = |
А-%(t) — Ai -f- 2£ 2 |
арр^ |
|
|
|
р= 1 |
|
|
t |
п |
п |
п
N |
N |
О |
п |
|
|
+ N 2 |
арц ■sAp(t') + |
|
p=i |
'lv+Г' |
|
п |
|
|
п
••Н aPij'...rfAprs (01 “Ь
N - 1
64 Р Е Ш Е Н И Е Ф П К - У Р А В Н Е Н И Я [ГЛ. И
3!
+ (/V -D ( N - г ) |
2 l a PIm |
s^pijk ( О |
"Ь • • • |
" |
|
|
|
|
N- 2 |
|
|
|
• • ' “Ь |
® Р и ' m-^P/rs (0 1 “Ь • • • |
|
|
|
N - 2 |
1 (2.44) |
2! |
laprsApH~ fit') + • |
• • |
|
TV—1 2 |
|||
p = i |
N-l |
|
• • • + flpij^pjci- s(t')]}dt',
'"whT
Из второй группы этих уравнений видно, что для того, чтобы величины A t были постоянными, необходимо и до
статочно, чтобы
П
2 &ppi = 0, i — 1 , 2, . . . , и. p = i
С учетом постоянства И г = И? на основе третьей группы выражений (2.44) приходим к заключению, что для по стоянства A tj необходимо и достаточно выполнение ра
венства
ПП
з2 а ррц ”Ь2 ®pij^p= О-
p=i
Продолжая подобные рассуждения, убеждаемся в справедливости следующего положения. Необходимыми и достаточными условиями существования в стационарной система и-го порядка без шумов равновесного распреде ления вероятностей являются:
—наличие у характеристического уравнения линей ного приближения «-кратного нулевого корня;
—выполнение равенств
П
V—1