Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 83
Скачиваний: 0
§ 2.11 Ф ОРМ АЛИЗМ М ЕТОДА РЯ Д О В 41
уравнений, причем каждая группа соответствует коэффи циентам членов определенной степени:
|
П |
|
|
Aikl...e |
2 |
{в-piApitl...s + • • . + |
O’PsApkl.-.i) = 0» (2.13) |
П Г |
p=1 |
П$ |
П Г ' |
|
|
N = 1,2,... |
|
По условию начальные значения коэффициентов, начиная с некоторого N = N m, нулевые:
Аш ...в = 0 , N — N m, N m -f- 1, . . .
nr
Поэтому и решения однородных уравнений (2.13), начиная с N = N m,— нулевые:
А щ . = 0) N = N m, 7Vm- ( - l , . . . ,
nr
т. е. текущая логарифмическая плотность вероятности выражается полиномом. Если в линейной системе без шу мов начальная логарифмическая плотность вероятности выражается степенным рядом, сходящимся в области G0
фазового пространства, то степенной ряд текущей лога рифмической плотности вероятности будет сходиться в об ласти С?! фазового пространства, получающейся из обла сти G0 линейным преобразованием координат
х (t) = w (t, 0) х (0),
где w (t, 0) — фундаментальная матрица системы, х —
вектор (матрица-столбец) фазовых координат. Это выте кает из выражения (1.51).
Отметим одно очень важное обстоятельство, которое широко будет использоваться в дальнейшем. Для устой чивой линейной системы область сходимости ряда с тече нием времени уменьшается (стягивается к началу коорди нат), а для неустойчивой системы — расширяется. Можно полагать, что это справедливо и для нелинейных систем, с устойчивым или неустойчивым невозмущенным состоя нием х = 0. Действительно, если невозмущенное состояние
устойчиво *), то широкое почти равномерное начальное
*) Здесь речь идет, строго говоря, о так называемой статисти ческой устойчивости (см. § 2.3).
42 |
РЕШ ЕН И Е Ф П К -У РА В Н Е Н И Я |
ГГЛ. 11 |
распределение, для которого коэффициенты |
(2.6) ма |
|
лы и быстро убывают с возрастанием N, превращается с
течением времени в концентрированное в окрестности на чала координат распределение, для которого коэффи циенты могут быть значительными, вплоть до
больших N. Обратная картина имеет место для системы с
неустойчивым невозмущенным состоянием. Концентри рованное начальное распределение, с возможной малой об ластью сходимости ряда (2.5), превращается с течением времени в широкое распределение с быстро убывающими с ростом N коэффициентами А-м...,.
N
Из сказанного видно, что неустойчивость системы спо собствует сходимости ряда (2 .8) и, стало быть, благопри
ятствует применению метода рядов. Однако чаще всего встречаются задачи статистического исследования устой чивых систем. Ниже будет показано, что путем перехода к обратному времени можно для устойчивой системы обес печить быструю сходимость метода в решении обратной задачи (задано конечное распределение, найти начальное).
При достаточно быстрой сходимости ряда (2.8) можно ограничиться учетом членов до N -то порядка включитель но. При этом N целесообразно задавать четным, так как при нечетном N условие нормировки (2.7) выполняться
не может. Так вместо бесконечной системы уравнений (2 .1 1 ) получается замкнутая система конечного порядка
А{ |
2 |
йргАр |
2 &pq (Apq{ -f- Ap^Aq) |
|
||
|
P = 1 |
|
V, 1=1 |
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 2 |
a ppii |
|
n |
|
|
n |
p=] |
|
|
|
|
|
|
||
Ацс |
2 |
(&PiAplc "Ь ^pkApi) |
2 2 ®pilsAp - |
j- (2.14) |
||
|
p = l |
|
P=1 |
|
||
n
—2 S p q (ЗЛрд^ -}- 2A pifcAq -j- A p iA q fc) =
p.q=i
— 6 2 a ppiki
P=1
§ 2.1] |
Ф ОРМ АЛИЗМ М ЕТОДА РЯД О В |
43 |
■А-ikl...s — |
2 |
(a PiApkl...s + |
• • • + O-ps^pik—r) — |
|
|||||||||
'“лГ" |
|
P=1 |
|
|
"ТГ |
|
|
|
|
|
|
||
|
2\ |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/I (a pikAplm...B |
4" •••"4~ a PrsApxk...m) |
|
||||||||||
|
N _ I |
|
|||||||||||
|
|
|
р= 1 |
|
|
N -1 |
|
|
|
N-1 |
|
|
|
|
(N - |
1) (N - |
2) |
Д |
(« P ilc i^ P d !- ^ |
+ |
• • • |
|
(2.14) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•••4" ^p/rs^pik—m) |
••• |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N - 2 |
|
|
|
|
2! |
|
2 |
(apik...fAprs |
+ •*.+ |
—s Чр;/.) ■ |
||||||
|
|
|
J jy |
||||||||||
|
|
|
|
|
Р=1 N-1 |
|
|
|
JV—1 |
|
|
||
|
2 |
(aPik -r"4 p s + |
• • • + |
( lp k l...tA p i) |
|
|
|
||||||
|
p=i |
'4v—' |
|
|
“ |
|
|
|
|
||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
— |
2 |
®p i k l . . . s A p |
2~ |
2 |
^P Q |
[A p iA q k l...$ |
+ |
• • |
|||||
|
P=1 |
" n^T |
|
p’9=1 |
|
" |
|
|
|||||
• • • + |
A p s A qik...r + |
2! |
(-4 p i)f4 g (...8 + • • • |
|
|
||||||||
^ __ ! |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
3! |
N -1 |
|
|
||
• • • + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
-^pra^qi.../) 4" (УУ_i) (N__2) (ApiklAqr^j + • |
|||||||||||||
|
|
|
|
^V-T |
|
|
|
|
N-2 |
|
|||
•••+ |
^P/r5-4qi..-I )+••• + |
{ A pik-.r-APs ~Ь ••• |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
^N^2 |
|
|
N n |
|
|
|
||
•••Ч- Apki,,.gApi)] — |
N ( N |
-j-1) 2 ®ppi/t...s |
|
J |
|||||||||
|
|
|
~ H ~ ' |
|
|
|
|
P= 1 |
' W |
|
|||
Величина |
4 0 согласно |
(2.11) |
выражается |
квадратурой: |
|||||||||
|
|
|
|
t |
П |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
^0 — ^0 + |
5[ 2 aPP "t---2~ |
Spq {Apq -|- Лру19)1 dt. (2.15) |
|||||||||||
|
|
|
|
о |
Lp=i |
|
|
p.q=i |
|
|
|
1 |
|
Однако при приближенном решении удобнее определять
44 Р Е Ш Е Н И Е Ф П К -У Р А В Н Е Н И Я [ г л . и
А о из соотношения
00 |
п |
П |
|
|
$ . . . §ехр (Л0 + |
2 |
А ^ + -j- 2 |
+ ■.. ) |
X |
|
|
|
X d xi. . . dxn = |
1 . (2.16) |
Выше указывалось, что точное решение ФПК-уравнения удовлетворяет условию нормировки автоматически. По этому точное решение бесконечной системы уравнений (2.11) при условии (2.7) обращает соотношение (2.16) в тождество. Однако при приближенном решении после определения А г, A ih, . . . как решения уравнений (2.14) величину А 0 удобнее определять из (2.16), а не (2.15).
Это гарантирует выполнение условия нормировки при приближенном решении.
С учетом симметрии коэффициентов общий порядок
системы уравнений (2.14) равен |
|
и (и + 1) . . . (n + W— 1) |
• (2.17) |
т |
|
Этот порядок указан в таблице 1 для различных значений п
и N. При N = 2 (нормальный |
закон распределения), |
|
п |
= 40 этот порядок составляет |
860, при N = 4, п = 10 |
он равен 1000; при N = 6, п — 6 равен 923; при N = 10, |
||
п |
= 4 порядок равен 1000. Таким образом, хотя для мно |
|
гомерной динамической системы система дифференциаль
ных уравнений (2.14) |
получается |
громоздкой, она при |
не очень больших N, |
п доступна |
для численного интег |
рирования на современных ЭВМ.1 |
|
|
Однако, как показано ниже, кроме прямого числен ного интегрирования существуют многочисленные пути общего исследования уравнений (2.14) и построения на
основе этого исследования |
теорий частного вида си |
стем. |
и аналитического исследо |
Трудоемкость численного |
ваний во многом зависит от скорости сходимости рядов, которая определяет допустимое значение N.
Выше уже отмечалось, что неустойчивость невозму щенного состояния исходной системы благоприятствует сходимости ряда (2.8) при достаточно больших значениях t ,
а стало быть позволяет ограничиться невысокими зна чениями N. Однако в большинстве случаев приходится
§ 2.1] |
|
Ф ОРМ АЛИЗМ |
М ЕТОДА РЯ Д О В |
|
45 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
2 |
2 |
5 |
9 |
14 |
20 |
27 |
35 |
44 |
3 |
3 |
9 |
19 |
34 |
55 |
83 |
119 |
164 |
4 |
4 |
14 |
34 |
69 |
125 |
209 |
329 |
494 |
5 |
5 |
20 |
55 |
125 |
251 |
461 |
791 |
1286 |
6 |
6 |
27 |
83 |
209 |
461 |
923 |
1715 |
3002 |
7 |
7 |
35 |
119 |
329 |
791 |
17152 |
3431 |
|
8 |
8 |
44 |
164 |
494 |
1286 |
3002 |
|
|
9 |
9 |
54 |
219 |
714 |
2001 |
[5004 |
|
|
10 |
10 |
65 |
285 |
1000 |
3002 |
|
|
|
9 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
54 |
65~ |
135 |
230 |
350 |
495 |
665 |
860 |
1080 |
219 |
285 |
815 |
1770 |
3275 |
|
|
|
|
714 |
1000 |
3059 |
|
|
|
|
|
|
2001 |
3002 |
|
|
|
|
|
|
|
иметь дело с устойчивыми или нейтральными объектами.
Система
-f- fi (хх, . . м хп, t) — 0, 1 = 1 , 2, . . . , n,
с устойчивым невозмущенным состоянием может быть трансформирована в систему с неустойчивым невозмущен ным состоянием путем перехода к обратному течению вре мени:
т = - t. |
(2.18) |
При этом в уравнениях (2.11), (2.14) изменяются знаки при производных:
Лш...в = — |
^ш. ..«• |
'~N~‘ |
'~N~' |
Это и вызывает сходимость решения уравнений коэффи циентов с ростом т. Необходимо при этом иметь в виду, что начальное распределение во времени х есть конечное рас пределение в реальном времени t и наоборот. Это озна