Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
50 РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У РА В Н Е Н И Я [ГЛ . II
при симметричном центральном начальном распределении вероятностей свободное движение в системе без прямых нелинейных связей имеет точно такую же нормальную со ставляющую логарифмической плотности вероятности, как в линейной системе.
Сходное, но не идентичное положение имеет место для вынужденного движения систем без прямых нелинейных связей. Действительно, первые два из уравнений (2.14) для этого класса систем запишутся в виде
П п
•'ij |
2 |
Пр;.Лр |
2 |
{Apqг “Ь Ap^Aq) = |
0, |
|
Р =1 |
|
Р, 9=1 |
|
|
|
п |
|
|
п |
(2.28) |
Ails — 2 |
(aPi-Apk |
apkApi) 2 2 aPikAp |
|||
|
Р =1 |
|
|
Р=1 |
|
п
2*^Р9 (3^4рзIk “Н 2ApifcAq -f- ApiAqk) = 0.
Р. 9=1
Если ограничиться только квадратическим приближением логарифмической плотности вероятности N = 2, т. е.
искать приближенное решение в форме нормального рас пределения, то следует положить
Apih 0, Apqifc — 0.
При этом
п п
А\ — 2 |
йр%Ар — |
2 SpqApfAq — 0, |
|
Р =1 |
Р, 9=1 |
|
|
п |
|
|
|
АцС —2 (aPiApk + |
apkApi) — |
(2.29) |
|
р = 1 |
|
|
|
|
2 S p q A p i A q i s |
2 2 a Pik-Ap — 0 . |
|
|
Р, 9=1 |
|
р =1 |
Если начальное распределение симметрично относительно начал координат, то A t (0) = Л? = 0. При таких на
чальных условиях первая система уравнений (2.29) имеет тривиальное решение А ( (t) — 0 и уравнения для коэф
фициентов квадратичных членов принимают точно такой же
§ 2.2] Ч А С Т Н Ы Е СЛУ ЧА И 57
вид, как в линейной системз:
п п
А%к S (aPiApk -р apkApi) — |
SpqApiAqK — 0. (2.30) |
Р=1 |
р, (2—1 |
Таким образом, приближенное решение в виде централь ного нормального распределения для системы без пря
мых нелинейных связей при наличии |
шумов |
совпадает |
с решением для линейной системы. |
|
|
Уравнения (2.30) в матричной форме имеют вид |
||
А — Аа — атА — A S A = |
0, |
(2.31) |
где a = | a iftf, Л = | ^ гй||, 5 = || S tk \ — квадратные мат
рицы, ar — транспонированная матрица.
Решение матричного (без правой части) уравнения Риккати (2.31) может быть выражено через квадратуры весовых функций линейного приближения. Соответствую щее выражение имеет вид
(
А = [u> (t, 0) А~х(0) (*, 0) - ^ w (*, Г) Swт (/, t') d t T \ (2-32)
о
где индекс «—1 » обозначает обратную матрицу.
Для доказательства удобно перейти к обратной матри
це А*1 или матрице вторых моментов |
|
М = - А - 1. |
(2.33) |
Умножая (2.31) слева и справа на А*1 и принимая во
внимание, что АА ~Х = — АА ~Х, получаем |
|
М + аМ + MaT - S. |
(2.34) |
Решение уравнения (2.34) имеет вид |
|
I |
|
М = w (t, 0) М (0) шт (t, 0) w (£,. t') SwT |
(i, t’) dt'. (2.35) |
о |
|
В этом можно убедиться, подставляя (2.35) в (2.34) и учитывая, что
w (£, 0) + aw (t, 0) = 0, VF (t, 0) + u>T(f, 0)aT = 0.
Отсюда и из (2.33) вытекает решение (2.32).
58 РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У РА В Н Е Н И Я [ГЛ . II
Важным классом систем являются системы без ли
нейных связей. |
Так будем называть системы, описываемые |
|
уравнениями |
|
|
71 |
П |
|
2 |
^ikl^k^l “Ь 2 |
m-^kP^V^m "4“ ■■• = ii» (2.36) |
М = 1 |
к, I, т— 1 |
|
т. е. системы, характеристики которых / ; не содержат ли нейных членов. Для таких систем фундаментальная мат рица линейного приближения является единичной и фор мулы (2.23) для коэффициентов распределения при от сутствии шумов упрощаются:
|
|
= |
Aijic..tS 4- |
( |
|
П |
Uppij...s (t ') 4- |
Aijk...s{t) |
|
j./V (^V—1) ^ |
|||||
IV |
n |
|
~~N~ |
0 |
n |
p = l |
IV+2 |
|
|
|
|
|
|
||
+ N 2 |
a P V y f ( O A p + |
2 |
[ a PJ. .s ( O ^ P i ( 0 + • • • |
||||
Р=1 |
IV+ 1 |
|
p = l |
'~N~' |
|
||
•••+ |
Яру...г{t') A Ps (£')] 4 - |
|
|
||||
4~1й~~Т |
2 taPfc -s |
) ^pij(t') |
(2.37) |
||||
|
|||||||
IV—1 |
Р=1 |
IV—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• . . + |
apij...f (O A p rs (01 + |
• • • . |
|
||||
• • • + |
—---- - 2 lflPil (^) Apk,..B (<') + • • • |
||||||
|
N ~ l |
£ i |
|
|
|
|
|
|
. . . 4- apls (f) Apij^r (I')]} dt\ |
N = 2, 3, . . . |
|||||
|
|
|
|
|
'4v-i |
|
|
Еще более узким, но важным подклассом являются си стемы вида
П |
|
2ч + 2 аш а д = 0, аPPI 0. |
(2.38) |
к, 1=1 |
|
Такие системы будем называть системами с перекрестны ми квадратичными связями. Каждое уравнение (2.38),
кроме производной xt, содержит попарные произведения
координат с индексами, отличными от г. Характерным примером могут служить уравнения Эйлера (1.34). Для
§ 2.2l Ч А С Т Н Ы Е СЛУ ЧА Й 59
систем с перекрестными квадратичными связями выраже ния (2.23) обращаются в следующие:
|
А а — А а, |
A i (t) — A i, |
||
|
|
t |
П |
|
A)(t) = |
Ab + 25 S |
apij(t') Ap (t')dt’, |
||
|
|
GОр— 1 |
||
A-,jk... s (0 = |
A ij k... s |
|
(2.39) |
|
N |
N |
|
|
|
|
t |
n |
|
|
-д7_1 ^ 2 |
laPH |
|
) APk ... s(O 4 |
|
|
о p=1 |
|
JV-l |
|
|
|
. . . |
4- o-prs{t') Apij ...f(t')] dt', |
|
|
|
|
|
N- 1 |
Допустим, что система с квадратичными перекрест ными связями является стационарной (aihl = const) и
начальное распределение является центральным нормаль ным:
A i (0) = 4? = 0, А и (0) = Afj, A ijk (0) = A \ik = 0,...
Допустим также, что начальные значения коэффициен тов распределения удовлетворяют уравнениям
П
2 (APiCLPjk 4“ APjapik 4" A pf[ttpjj) — 0, |
i, j, к = 1, 2, . . ., га. |
p=i |
|
Тогда |
|
Aij {t) = A°u, A Uh (t) |
= 0,... |
и данное начальное распределение является равновесным для свободного движения системы. Это вытекает как из
уравнений (2.39), так и из того, что при указанных усло-
п
виях функция 2 AikXiXn служит первым интеграл ом для
г, 4=1
системы (2.38).