Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 110
Скачиваний: 0
§ 3.2J СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИ Н А М И К А СВОБОДНОГО Д В И Ж Е Н И Я 107
A i i ’,jj’,...,ss’ (0 —
2N
— |
2 |
.... xx'^vv'.ii' ( |
t) . . . |
|
v, |
2iV |
|
•••wxx-, Ss' ( |
2! |
2л |
x |
|
ч “Hj\f_\ |
|
|||
i |
|
М а\...,х. х' |
(3.45) |
|
|
|
|
||
X ^ |
xx'-^pp', умУ-чШ)' |
) "b • • • |
|
|
0 p, p' |
2N-2 |
|
|
|
• ••-(- Ярр', |
Et',...,xx' (f )1 ^vv'.ii' |
0 |
• • ■ ’ |
|
|
2 JV —2 |
|
|
|
|
• |
••W’xx'ss' (t’ — |
t) d t ’ |
|
Коэффициенты распределения можно разбить на три груп пы. Коэффициенты первой группы относятся к основным координатам x i0 = x t (i = 1, 2, . . ., п) и имеют в ка
честве индекса со штрихом нуль. Для этой группы коэф фициентов согласно (3.45), (3.40), (3.41), (3.38)
|
~ |
2 xlvo^vo, i0 ( |
0 = |
2 |
^vo^vi ( 0> ^ |
|
|
|
V |
|
|
V |
|
■4iO,jO (*0 |
= |
-^-vO, И-O^vi ( |
0 |
( |
£), |
|
|
|
v,li |
|
|
|
|
Aiii0,j0, ,50 (t) |
= |
|
|
|
|
(3.46) |
|
|
|
|
|
||
2N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^4*0,цо....7.aw4i (_ |
t ) . . . Wxs (— t), |
||
|
V, Iх, ...,X |
~2N |
|
|
|
|
Эти выражения совпадают с формулами для коэффициен тов распределения In рв при номинальных значениях
параметров. Коэффициенты второй группы относятся только к постоянным во времени случайным параметрам и имеют индексы со штрихом, отличные от нуля. Из (3.45),
108 Р Е Ш Е Н И Е Ф П К - У Р А В Н Е Н И Я МЕТОДОМ РЯ Д О В [ГЛ. I II
(3.41), (3.38) следует, что |
для этой группы параметров |
|
Aw (0 = Aw = |
о |
при i =р £', А и = t |
A ii’,jj' ( 0 = |
A |
w j y , |
т. е., как и должно быть, коэффициенты распределения параметров остаются неизменными во времени и равными начальным значениям.
Существует третья группа коэффициентов распреде ления, которая соответствует членам, содержащим как основные координаты x i0 = x t, так и параметры x lh, к 0. Для этих коэффициентов часть индексов со штри
хом равна нулю, а другие индексы со штрихом отличны от нуля. Для этой группы коэффициентов, отражающей весь эффект случайных параметров, из формул (3.45), (3.41), (3.38) следует
Aii’,jo (?) —
n |
|
S |
(— t) + 2 5 л ш (? ) Wi'j (? — t) d f, |
|
0 |
П
—2 Aii',VO,tO Щ} (— 0 w4c (— 0 +
*=1
tn
+§ 2 -^iO,Ho (O [WV4 (?' — t) Wi'it (? — f) +
0
+ Wv-k(*' — t) Wi>} (? — t)\ d?,
П
0
+ Aio.ii' {?') Щ'к (t' — 01
§ 3.2] СТА ТИ СТИ ЧЕС КА Я ДИ Н А М И К А СВОБОДНОГО Д В И Ж Е Н И Я 109
Нас в основном интересует текущее распределение основ ных фазовых координат х х — xi0, i = 1, 2 По
этому от плотности вероятности в объединенном простран стве параметров и основных фазовых координат
Р ip'll • • •> ХП1 Хц, • • •» Xnni t)
целесообразно перейти к плотности вероятности в прост* ранстве основных фазовых координат
Рх ipli • • • >Хп, 0 |
= |
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
— ^ |
р (#i , • • ■, хП1^lii • • • >3'пп) dx-ц . • .dxnn. |
|||
Согласно |
предыдущему |
|
|
|
|
р = рн («1, • ••*«, 0 Рп (жи, • • •, хпп) X |
|
||||
|
п |
|
|
п |
|
X ехр [~2 ~ |
2 |
■Aii’ joXii'Xj |
-\ д - |
2 |
kfPii’XjX/i -f- |
' |
i,i',j= l |
|
i.i'.j, k= l |
|
|
|
|
H g- |
2 |
|
jj\ kQXii'Xjj'X^-j- . . . j. |
|
|
|
M'. j, |
|
' |
Здесь pn — плотность вероятности для номинальной сис темы, ра — плотность распределения параметров. Таким
образом,
Рх (*1, • • • »®П» 0 |
-- |
ОО |
|
П |
||
= Ра {Х\, • • •, хп, t) х |
j . . . j |
exp [— |
2 |
Aiv.joZii-Xj + |
||
|
|
— oo |
' |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
"I------ g ~ |
2 |
j o , JcoXii'XjXfc |
- | - |
|||
|
t,i',j, k=l |
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
M g“ |
2 |
jj', koXii’Xjj’Xfc -j" . . . J X |
||||
M',j, j\k=l |
|
|
' |
|||
|
|
X Pn |
• • • i з-пп) d x ^ . . . dxnn. (3.48) |
|||
Если требования к текущей плотности вероятности P* |
||||||
заданы в виде |
|
|
|
|
|
|
Рх (*i, |
*п’() ^ |
d (х%, . . . , |
xn, £), |
|||
V(*i. |
||||||
*п> *> |
|
|
|
|||
110 Р Е Ш Е Н И Е Ф П К - У Р А В Н Е Н И Я МЕТОДОМ Р Я Д О В [ГЛ. I II
где d — заданная функция, то неявной формой решения
поставленной |
задачи служит |
|
оо |
П |
|
$ ■• • § |
• • • ’ Хпп) ехР (~2~ 2 |
Aii',jOx ii'x i + |
'I,г',j=l
|
|
|
п |
|
|
+ |
"З- |
2 |
■^U’.jO,kox ii'x jx l ( Jr |
~\ о- |
" |
|
|
\ |
2 |
-Аи', )}’,koZii’Zjj’Zk 4“ • • • ] dx11 . . . dxnn |
|||
< d ( z i , • •• ,хп, t). (3.49)
Для частных случаев могут быть получены решения в явной форме.
Приближенное решение в явной форме. Если ограни читься квадратичными и кубическими членами представ ления совместной логарифмической плотности вероят
ности и считать начальное распределение параметров р® нормальным, то интеграл в формулах (3.48), (3.49) можно
вычислить в общем виде. Действительно, |
в этом случае |
|||||
Р х |
(*^1? • ■•» o c n t t ' ) |
— С Р н (#1 , • • .^, х |
п , t ) X |
|
||
|
ОО |
|
П |
|
П |
|
X |
5■■■5еХР [~2~ 2 |
' |
“I---- g- 2 ^ii'iW'.SOх к) x ii'x ii"^~ |
|||
|
—<*> |
|
|
)С=1 |
|
|
|
п |
п |
|
п |
|
|
Н |
2~ 2 |
(2^ii‘,jOxj Ч |
з- 2 ^■ii',jO,kOX}XkjXn' I dx^ . . . dxnn, |
|||
|
I,i'=l vj=l |
|
j,kr=1 |
' |
J |
|
где c — const. |
|
|
|
(3.50) |
||
Матрицы, составленные из элементов с |
||||||
двойными индексами, |
можно |
рассматривать как блочные |
||||
матрицы |
или |
обычные матрицы с двойной нумерацией |
||||
строк и |
столбцов. |
|
|
|
||
|
Обозначим |
матрицу, обратную |
|
|||
§ 3.2] СТАТИСТИЧЕСКАЯ Д И НАМ ИК А СВОБОДНОГО Д В И Ж Е Н И Я Ш
через — Л/ .
М — I Мц\ jy I — Ац-tjy -)— — 2 Ац\ц', кахкI
/С=1
Применяя к (3.50) известную формулу для интегралов рассматриваемого типа [2.6], получаем
Рх(*1, • »^71*0 -- ^lPlI (*^19 *. . , * , „ 0 / 1^1 x
Пn
X ехр Г -|- 2 |
( S |
^uspo^p + |
L 0 |
i |
|
n |
n |
|
V, 7=1 |
(/0X jjX q ] f2 |
-Ajj't rO %r + |
* V=i |
||
|
n |
|
|
+ “ 2 |
^jArOj/O^/j |
где сх — const. Для того типичного случая, когда началь
ные распределения основных координат и параметров независимы,
л° |
0, А ц ’ ио ео— 6, |
— 0» |
/4i',1^0 |
и начальное распределение основных координат является
центральным, |
|
= 0, из (3.46), |
(3.47) вытекает |
|
|
■ ^ io ( 0 = 0» |
П |
;о (^ ) — 0 , |
(со ( 0 ~ 0 ) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
A i , j o , k o ( t ) |
= $ |
2 |
Л |-о.ро(*') [“ V i |
(* '— *) + |
|
|
ОЦ=1 |
+ Wpk it' — t) Wi'j (t' — t)]tdt', |
(3.52) |
||
|
|
П |
|||
|
|
|
|
|
|
•^iO, (AO(O |
— |
2 |
-^VO,I0wri ( О |
{ O' |
|
|
v,e=l |
|
|
|
|
Матрица M при этом равна начальной корреляционной
матрице параметров
М = \М Ъ ,х \ = - \А Ц ,,п,