Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

112 Р Е Ш Е Н И Е Ф 11К -УРА ВН ЕН И Я МЕТОДОМ Р Я Д О В [ГЛ. Ш

Формула (3.51) в данном случае приобретает вид

Из этой формулы, как и из предшествующих (3.48), (3.50), видно, что, даже если начальные распределения основных координат и параметров являются нормальными, текущее распределение основных координат не является нор­ мальным.

Таким образом, в показателе экспоненты мы имеем квад­ ратичную форму, составленную из квадратичных форм основных фазовых координат. Квадратичная форма

2 Мц',Ц'Уа'УЦ’ — И ( 2 Аап'Уи' -ч=0

положительно определенная и

Таким образом, как и следовало ожидать, случай­ ность параметров может только увеличивать рассеивание основных фазовых координат *) {рх > рв).

*) Все это справедливо лишь в окрестности начала координат, где имеет место достаточно быстрая сходимость ряда.

§ 3.2] СТАТИСТИЧЕСКАЯ Д И Н А М И К А С В ОБОД НОГО Д В И Ж Е Н И Я Ц З

Для того чтобы получить ограничения (допуски) для

моментов Ми’, ,у случайных составляющих параметров, необходимо задаться некоторыми условиями для хр или Ун-. В интересах простоты конечных выражений (см. ниже) заменим величины ун>в формуле (3.55) их мате­

матическими ожиданиями

\п

V,Q= 1

при условии, что Хр, xq суть фазовые координаты в номи­

нальной системе. Тем самым мы строим оценку отклонений распределений в области фазового пространства, «населен­ ной» при номинальных значениях параметров. Такой подход представляется достаточно естественным. Его до­ полнительным преимуществом, как сейчас увидим, явля­ ется независимость допусков на параметры от величины начальных отклонений фазовых координат, характеризуе­

мых моментами М [агрх5](=0 или коэффициентами A p0<q0.

Для доказательства последнего утверждения и получения

—M[xpXq\, находим

Пt П

0P, P .7 = l

Вматричной форме это соотношение запишется так:

о

где у = I Г*г||, А (О) = || Л , * M(f') ||,

т (<) = I mpq (t) ||, w = I wa I

— квадратные матрицы, индекс «т» обозначает транспо­ нирование. Согласно (3.46)

A (г) = шт( - 0 A°w ( - t), А (Г) = шт ( - Г) A°w ( - 1'), (3.58)

где А 0 — А (0). Подставляя это выражение для А (t') в

(3.57) и учитывая, что согласно теории линейных диф­ ференциальных уравнений

w (— t') w (t' — t) = w (— t),

получаем

t

у = 2 jj w* (— t') A°w (— t) m (t) wT (? — t) dt'. (3.59)

о

Для номинальной системы нормальное вначале распреде­ ление остается нормальным и

A (t) т (t) = — 1,

где 1 — единичная матрица. Из этого соотношения и вы­ ражения (3.58) для А (t) вытекает

т (t) = - A ~ \t) = - w - \ - t)(A0)-4wт ( - f)l_1.

Подстановка в (3.59) дает

(

у = — 2 jj и>т (— *') [шт (— 0 ] _1 W*(*' — t) dt'.

о

Но

wr (t)w*(— t) = 1, |wT(— o r 1 = wT(t).

Поэтому

i

y = — 2^wT(— t')vA (t)™* {t' — t)dt' =

0

(

где 1 — единичная матрица. Таким образом, при приня­ тых условиях г/ действительно не зависит от начальных значений моментов основных фазовых координат и имеет исключительно простое выражение.

Согласно (3.60)

Коэффициенты alt в теории регулирования обычно назы­

ваются коэффициентами самовыравнивания, а обратные им величины — постоянными времени. Таким образом, условие (3.63) ограничивает допустимый разброс коэф­ фициентов самовыравнивания или постоянных времени рас­ сматриваемой системы. То, что из общего числа пг коэф­

фициентов уравнения (3.34) в условие (3.63) входит лишь п диагональных коэффициентов, следует отнести за счет

приближенности рассматриваемого частного решения задачи. Если коэффициенты самовыравнивания независи­ мы, то условие (3.63) ограничивает сумму их дисперсий:

(3.64)

i=i 1р

При малых случайных отклонениях

лATi

--2 I

1 X

где Tt — 1/ац — номинальное значение постоянной вре­ мени, ДTt — случайное отклонение этой постоянной.

В соответствии с этим соотношение для допусков (3.64) может быть представлено в-виде

Отсюда видно, что наиболее жесткие требования в смысле относительных отклонений должны предъявляться к звеньям с минимальными постоянными времени. По-види­ мому, это положение сохраняет силу не при сколь угодно малых ТI. Однако для выяснения этого необходимо более

точное решение задачи (3.49), учитывающее старшие члены рядов.

§ 3.3. Динамика линейных стохастических систем

Под линейными стохастическими системами будем по­ нимать линейные системы со случайно изменяющимися во времени коэффициентами (параметрами) вне зависимости ет того, имеются аддитивные шумы или нет,

§ 3.3] ДИ Н А М И К А Л И Н Е Й Н Ы Х СТ ОХАС ТИЧЕСКИ Х СИСТЕМ Ц 7

В случае отсутствия аддитивных шумов линейная стохастическая система описывается уравнениями

П

ции времени, некоторые Aaik могут быть тождественно

равными нулю.

В случае присутствия аддитивных шумов

П

Ч" 2 ^ik^k = £i> fc=l

где = £j(2) — случайные функции времени. Для всех шумов, представимых с помощью линейных формирую­ щих фильтров, шумы £г(£) можно считать белыми (или равными нулю), так как уравнения формирующих филь­ тров можно присоединить к уравнениям исходного объекта.

Если «параметрические шумы» Aath(t) также представ­

лены с помощью линейных формирующих фильтров, то полную систему уравнений линейной стохастической системы можно записать в виде

Можно указать много задач, которые приводят к ли­ нейным стохастическим уравнениям. В частности, полет любого летательного аппарата в турбулентной атмосфере описывается стохастическими уравнениями, в линейном приближении — линейными. Действительно, турбулент­ ность создает не только аддитивные возмущающие воз­ действия, но и случайные пульсации коэффициентов членов, выражающих приращения аэродинамических сил и моментов.