Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 111

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

118

Р Е Ш Е Н И Е Ф П К -У Р А В Н Е Н И Я МЕТОДОМ Р Я Д О В [ГЛ. Ш

Строго говоря, стохастическими уравнениями описы­ вается также движение спутника всякой реальной пла­ неты. Действительно, помимо гравитационного поля, от­ раженного в правильной «фигуре» планеты, существуют материковые, региональные и местные гравитационные аномалии, которые на движущийся спутник оказывают воздействия случайного характера.

Уравнения малых отклонений, вызванных этими воз­ действиями, в прямоугольных координатах имеют вид (3.33), но с правыми частями:

(3.67)

д *м ~

Арх = ° ’

а ум —

Ару = 0>

A z M — - ± -

A p z = О,

 

 

где

дЦА

! дЦ \

( дЦ

производные «аномальной»

дх /о ’

\ д у J o ’ V d z /о

 

 

составляющей гравитационного потенциала вдоль траек­ тории невозмущенного движения. Коэффициенты уравне­ ний (3.67) — вторые производные гравитационного по­ тенциала вдоль невозмущенной траектории — вследствие наличия аномалий являются случайными функциями вре­ мени, как и правые части уравнений (3.67). Таким образом, налицо стохастическая система, хотя случайные состав­ ляющие коэффициентов, по крайней мере для движения искусственных спутников Земли, весьма малы. Для приб­ лиженного исследования стохастических динамических систем предложен ряд методов [3.6], [3.9] — [3.12].

§ 3.3] ДИ Н А М И К А Л И Н Е Й Н Ы Х СТОХ А С ТИ ЧЕСКИ Х СИСТЕМ Ц 9

Рассмотрим методику исследования линейных стоха­ стических систем путем решения ФПК-уравнения. Обра­ щаясь к уравнениям (3.66), введем, как в предыдущем па­ раграфе, обозначения с двумя индексами:

Я-iO = ®li EiO == S ii i k — & a t h ’

Параметрические шумы x ih в общем случае считаем зави­

симыми, но так, что матрица вторых моментов (корреля­

ционная

матрица)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ М ц ’Л Г \

=

\ М

[ х ц ' ХкН>]\\

 

 

является

неособой.

Уравнения

(3.66) записываем

в виде

£ ц ’

2) Я{г', кк'%кк' "Ь

2

 

 

кк’, И'Хкк'^И'

— iii'i

(3.68)

 

к,к'

 

 

к, к', I, V

 

 

 

 

 

где все

индексы

без

штрихов

принимают

значения 1,

2, . . ., п, индексы

со

штрихами — значения 0,1,

. . . , « .

Коэффициенты уравнений

 

(3.68)

постоянны

и равны

 

а-1к

 

при

V =

0,

к' = 0,

 

 

 

0

 

при

V =

0,

к’ф 0 или

 

&«', кк'—

 

 

 

к' =

0,

 

i' Ф 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О'И’,кк' при

 

i -f—0,

 

к ~Ф0,

 

 

 

— при

V = 0,

к — i,

 

(3.69)

 

 

 

 

к' =

I,

V = 0 или

 

 

 

 

 

 

 

кк\ И' =

 

 

V =

0,

I =

i,

 

 

 

 

Г =

к,

к' =

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

при

всех

других значениях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

индексов.

 

 

Уравнения (2.11) коэффициентов текущего распределе­ ния запишутся в виде

■Ац ' — 2

а РР’’ ti'-^PP' —

2

S p y /, qq'

X

р,

р'

Р. Р', Q, Q'

 

(3.70)

 

 

 

 

X {Арр', qq', « ' 4 “ A pp' tii’A qq')< = 2 2

а рр’, рр ', ii'i

Р, Р'

120

 

 

Р Е Ш Е Н И Е Ф П К - У Р А В Н Е Н И Я МЕТОДОМ РЯ Д О В

[ГЛ. I II

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A n o i n t ' —2 ( а Р Р '> М ' ^ Р Р ' * к к ’

а Р Р '* к к ' А ^р- ррр

',

 

 

 

\ гг'') '

 

 

 

 

 

рР ..Рр*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2

2

^РР'» ii'i fcfc'-^pp'

 

2

^ р р ’i

Q<}' ^

 

 

 

 

 

 

p, p'

 

 

 

p,p'» a, a'

 

 

 

 

 

X

(ЗЛ ,рр'(

kK'tii'

4 “ 2 Л’ рPP',р э ii',«

kk'fcfc'--^qq'4qq' +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

”1“

-/l-n Tl'

1*4' A r r /у

 

=

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

■f" А р р \ Ц' ^ q q ', kk')

 

A ii',

fcfc', i(' —

2

(a PP', ii'-^PP', kk’<,l'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p, P’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

a p p \ kk'A pp', ii', ll'

4~ ®ppp', IVH'-A*4pp',‘ U', kk')~

 

 

 

 

2

 

(®iPP'i ii'.

kk'App', I V

+ o'p[- p’,', ii\lV'Jl'A-Appp\kk'

+

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

P ,

P ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4"

®pp', feft', II'-^pp', ii')—

2

Spp', an' X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p,, p', a, q’p

 

 

 

 

X (6^4pp', qq*, u \ kk', IV “Ь" ^-^qq', ii', kk' ll'A pp’ 4 ”

 

 

+

-^pp'.ii', kk’-Aqq'' w

-l-

^.pp', ii', IV-^-qq', kk'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

Aqq', kk', IV ^4pp', ii')

=

0»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.70)

А ц 'г kk'.....ss'

2

(flpp',ii' A p p \

kk',...,ss' “H •

• •

 

 

 

'

2N

 

'

P. p'

 

 

2N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . -f-

flpp'ss'-‘4pp,.ii',...,rr')

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TFT

 

 

 

 

yy2!"f 2

(flPP'.ii'.M t'App’, IV.....ss'~t~

 

 

 

 

 

 

 

p, p'

 

 

 

2iV—2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . -f- ftpp', rr', ss'^pp', ii',...,//')

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2iV—2

 

 

 

 

2

^PP% 5 9 'IA

 

"Ь 1) ^ pp', qq', ii',...,ss' ~h

 

2

 

 

 

 

 

p, P', a, a'

 

 

 

 

2ЛГ+4

 

 

 

"i* 2iVi4pp.*4qq.^ ii',...,ss'

(-^4pp'f ii'Aqq' , fc/C'..... ss' ~Ь ■•

*

 

 

 

 

 

2N+2

 

 

'

2N"

’

 

 

 

 

 

 

 

 

•

• “f“ -<4pp', ss'-^-qq', ii'.....rr') ~i“

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2iV

 

 

 

2!

yy__f (^4pp', ii', kk'Aqq't lV,...,ss’ 4~

2 N —2

§ 3.3] ДИ Н А М И К А Л И Н Е Й Н Ы Х С ТОХАС ТИЧЕСКИ Х СИСТЕМ 121

■• 4“ ^рр\ Г**'.ss'Aqq', гг'.^ ' )

+

•

 

 

(3 ,7 0 )

 

 

 

2JV—2

 

 

 

 

 

• • •

~t~ {Арр’, ii'....rr'-4pp', ss' "4" • • •

 

 

 

 

 

 

 

2iV

 

 

 

 

 

 

 

 

>* • "H -^Ipp', kk',...,ss'A pp'f a*)] =

0,

 

 

 

 

 

'

2JV

 

 

.J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где индексы со штрихом принимают значения 0,

1, . .

га,

а

индексы

без

штрихов — значения

1,

2, . .

га; 2N ,

2N

— 2 — полное число индексов. При

2

о-рр’, рр’,И ’ =

О

уравнения

 

 

 

 

р.р'

решение

(3.70), очевидно, имеют тривиальное

 

 

= 0,

Л ц *, itn>=

0,

A n*t кк \ и* —

0, • • •

(3-71)

Если бы это решение было устойчивым, то все коэффи­ циенты А ц ’, 1щ’, А ц% w , W , ■• • стремились бы к нулю с течением времени, а распределение плотности вероятности стремилось бы к равномерному. Однако тривиальное ре­ шение (3.71) неустойчиво по крайней мере для системы, устойчивой в отсутствие параметрических шумов. Дейст­ вительно, если рассматривать устойчивость решения (3.71) по Ляпунову, то следует записать линейное приближение для уравнений (3.70):

А

kk' t ss'

2

(а Р Р ii'App', кк'...ss' +

•••

 

И

 

'

2N

P ,

P

2N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

**• “h (ipp'tSs'App’, kk', . iV>,)■ yv

2!

(®pp'. ’

 

.+

j 2

kk'A _

 

 

 

 

p. p'

ii'

 

 

 

~2JV

 

 

 

 

,

л

4

N { N + 1)

V

c

 

• • • ~ r ®pp', rrh, ss'

pp', ii', .... //' )

 

9

 

‘Jpp’, qq' X

 

 

 

2JV—2

 

 

pp'. qq'

 

 

 

 

 

X ^Ipp'.gg',ii',..

= 0.

(3.72)

 

 

 

 

'

2N +4

 

 

Если ограничиться в соответствии с сущностью метода учетом членов рядов до степени 2N включительно, т. е. положить

Арр', qq’tii'..... SS' — о,

(3.73)

2JV+4

122

Р Е Ш Е Н И Е Ф П К - У Р А В Н Е Н И Я МЕТОДОМ Р Я Д О В [ГЛ. Ш

то уравнения старших коэффициентов (3.72) примут форму

Акк', .... 3s'

2iV

2 (аРР'< И’ А р р \ кк', ..., S8'

• • • Ч" flpp'.ss'^pp', кк', .... И’ )

Р’ Р’

'

2N

2N

— /у _ 1

(app',ii’, кк’Арр',11',..., ss' Ч" • • • + йрр', rr', ss' X

 

Р| Р'

 

2N—2

X Л pp't ii't ...,//») = 0.

2N—2

Эти уравнения ничем не отличаются от уравнений коэф­

фициентов для случая свободного движения (SPP',

= 0)

рассматриваемой системы. По условию система без шу­ мов устойчива и в свободном движении А ц ’,хк',ss' стре­ мятся к бесконечности при t —*■оо (см., например, вы­

ражения (2.23)).

Спускаясь от уравнений старших коэффициентов к уравнениям коэффициентов с 2N — 2, 2N — 4, . . . ин­

дексами, убеждаемся, что, вообще говоря, все эти коэф­ фициенты стремятся к бесконечности при t-*- оо. Таким

образом, для устойчивой без шумов системы решение (3.71) неустойчиво по Ляпунову.

Для того чтобы найти другое, хотя бы приближенное, решение, необходимо проинтегрировать уравнения (3.70) при обычном предположении (3.73). Однако предваритель­ но целесообразно осуществить следующий анализ и преоб­ разования.

Как и в предыдущей задаче постоянных параметри­ ческих воздействий (см. § 3.2), все коэффициенты целесо­ образно разбить на три группы: коэффициенты со штрихо­ выми индексами, равными нулю, коэффициенты со штрихо­ выми индексами, не равными нулю, и коэффициенты, часть штриховых индексов которых равна нулю, а другая часть этих индексов отлична от нуля.

Рассмотрим сначала уравнения коэффициентов второй группы, т. е. уравнения коэффициентов членов, содержа­ щих только параметрические координаты хц•, i' > 0. Для них в соответствии с (3.69) app-tii^ kk' = 0 и уравнения

(3.70) ничем не отличаются от уравнений коэффициентов для случая линейной стационарной системы, находящейся

Смотрите также файлы