Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

§ 3.3] Д И Н А М И К А Л И Н Е Й Н Ы Х СТО Х А СТИ ЧЕСКИ Х СИСТЕМ 129

вероятности полиномом третьей степени) динамика стоха­ стической системы практически полностью определяется путем решения системы уравнений (3.86). Если все п2

параметров являются случайными, то порядок системы линейных дифференциальных уравнений (3.86) с учетом симметрии коэффициентов A i0, h0ilV равен «4/4! и при боль­ ших п весьма велик. Однако обычно число случайных (флук­ туирующих) параметров значительно меньше га2 и боль­ шинство коэффициентов A i0l h0, и' тождественно равно

нулю. Это сразу упрощает систему уравнений (3.86). Для установившегося режима уравнения (3.86) обра­

щаются в линейные алгебраические. Устойчивость реше­ ния уравнений (3.86) определяет устойчивость равновес­ ного распределения в исходной стохастической системе для случая устойчивости этой системы без шумов.

Действительно, пусть система без параметрических шумов устойчива. Тогда при любых начальных условиях величины А * „, ь о стремятся при t —*■оо к определенным

конечным значениям. Если при этом решение системы ли­ нейных уравнений (3.86) устойчиво, то величины И го, ko,w

также стремятся к определенным конечным значениям. Таким образом, при указанных условиях распределение вероятности р х (3.85) стремится с течением времени к

стационарному (не зависящему от времени) распределе­ нию и налицо статистическая устойчивость.

Если же при прочих равных условиях решение урав­ нений (3.86) неустойчиво, то коэффициенты A t0, ho, и' не-

ограниченно нарастают с течением времени. Квадратич­

ная форма

П

2 Мц.'№ уи,У]гк.

i, V, К, fe'=l

квадратичных форм

П

У)У — 2 it), ко,

г, к = 1

положительно определена, и неограниченное нарастание Л го, ft0, вызывает неограниченное нарастание плотности вероятности на периферии фазового пространства. Имеет место статистическая неустойчивость стохастической сис­ темы.

5 А. А. Красовский

§ З.з1 ДИНАМ ИЙА Л И Н Е Й Н Ы Х СТО Х А С ТИ ЧЕСКИ Х СИСТЕМ 131

Эта формула в рамках кубической теории дает исчерпы­ вающее представление о влиянии флуктуации параметра в установившемся режиме.

Случай линейно зависимых флуктуирующих парамет­ ров. В рассмотренной задаче предполагалось, что пара­ метрические шумы хотя и зависимы друг от друга, но их корреляционная матрица неособая. Между тем важным

•^п+тЧ &п+тг п+ 1^1 “Ь ^пЧт, п+2+г-г2 + •■ *4“^п+т, п+т ^п+т — in+mi

где 1п+1, . . ., |п+т — белые шумы. В данном случае нет

смысла вводить координаты с двойными индексами. Луч­ ше обозначить ц = ж„+1. Тогда уравнения данной стоха­ стической системы запишутся в виде

пп

i = 1 , 2, . . ., п f т,

5*

132 РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У Р А В Н Е Н И Я МЕТОДОМ РЯД О В [ГЛ . I II

где

n+m

— 2 (a P ik A p i + а р ц А р к + U pklA pi) —

P=1 n-fm

— 2 S p q (QApqiki + Ъ А р А ч т 4 - A piA q ki 4"

P. 5=1

+ АркАдц 4“ ApiAgik) = 0,

(3.91)

При определении логарифмической плотности с точностью до кубических членов следует полагать

A p q ik = Apqiki = •. . = 0 .

Кроме того, при центральном начальном распределении и 2 appt = 0 имеет место решение A t(t) = 0.