Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Скачать файл (6,69Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 104

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

$ З.З] ДИ НАМ ИКА Л И Н Е Й Н Ы Х С ТО Х А С ТИ ЧЕСКИ Х СИСТЕМ 133

Таким образом,		\
П-\|-ТП	n + m	\
А \ к — 2 (a P iA p k + a P k A p i)	2	Pq^Pi^-qk — u’
А \ к — 2 (a P iA p k + a P k A p i)	2	S p A p A = 0 ,
P= 1		(3.92)
n-f-m		(3.92)
1
n-{-m

Верхняя группа уравнений ничем не отличается от урав нений коэффициентов квадратичных членов для линейной стационарной системы и легко решается по формулам (2.32), (2.35). При этом, так как в линейном приближении исходные системы уравнений для координат и параметров автономны, то и уравнения для коэффициентов A ih или

вторых моментов распадаются на две автономные груп

пы. Если при		этом	аддитивные	шумы	\| ;(<) (i	= 1,
2, . . ., п) не коррелированы с шумами ti(t)(i					= п +	1 , . . .
. . ., п + т),	то
А м	=	A lh =	0 при i	тг, к >	п.	(3.93)

После нахождения A ih задача сводится к решению второй

группы уравнений (3.92). Непосредственной проверкой с учетом условий независимости аддитивных и параметри ческих шумов (Spq = S qp = 0 при р ^ п, q > п) и

(3.93), (3.90) убеждаемся, что уравнения (3.92) имеют решение

Aihi	(t)	— A hii (t) — A lhi(t)		— A n h(t)	— A hli{t)			=
при				=	A lth (t)			=	0	(3.94)
	ij	kt	l — 1 , 2, . . .,	7i,
1 )
2) i, k, l = n -f- 1, n -f- 2, . . ., n -(- m\									n	f m.
3)	i	= 1,	2, , . ., n; k, l	= n + 1, тг +		2,	. . .,
Оставшаяся			группа коэффициентов А ш ,			у	которых два

134 РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У РА В Н Е Н И Я М ЕТОДОМ РЯ Д О В [ГЛ . Ш

индекса ^ п, а	один	индекс )> п,			подчиняется		уравне
ниям
n				n-fm
А т —2 ( й п А р ы	+ а ркА ри) —			^	a p iA p ik —
Р—1			Р=п-н
п				п \|->п
2 ^РЧ (ApiAgici -j- A pliA qi{) —				^		S p q A p iA q tk =
р, <з=-=1			п	р, <з=п+ 1
			п
	=	54г, п+1 2		(^ p i-^ p fe		"Н Mpk-Api),	( 3 . 9 5 )
i> к — 1 , 2, . .			p = i			/г. —\|—
i> к — 1 , 2, . .		п\ I — п -{—1 ,				/г. —\|—
где		1	при	1 =	п -j - 1 ,
Х1,п+1 —		1	при	1 =	п -j - 1 ,
Х1,п+1 —		О	при	I ф п + 1 .
		О	при	I ф п + 1 .

Сопоставляя эти уравнения с уравнениями (3.86), можно убедиться, что они отличаются, в основном, правыми ча стями. Выражение (3.85) в данном случае, очевидно, при нимает вид

	n-f-m
Рх = СаРст (*1, . . . , хп, t) exp I Jg	2	МцУ[У}) >	(3-96)
'	(, j= n + l	'
где
n
y t = 2 AMxixv M ii = Ш'ЩХ]], l, j	= n +	1, . . ., n	+ m,
i, k-=l

—вторые моменты координат формирующего фильтра. Рассмотрим практический пример, иллюстрирующий

данный вариант стохастических процессов.

П р и м е р . Линеаризованные уравнения короткопе риодического углового продольного движения летатель ного аппарата в турбулентной атмосфере без учета силы тяжести и запаздывания скоса потока могут быть запи саны в виде

mF0 =	l p ( F +	£/;c) V ( a n +	^ ) ,
J zv — j p(F +		Uxf m ^ v +	j p ( F + Uxfm-mz (an + Ц ‘
y =	0 + a n,

(3.97)

§ 3.3] Д И Н А М И К А Л И Н Е Й Н Ы Х СТО Х А С ТИ ЧЕСКИ Х СИСТЕМ 135

где V — путевая скорость, Uх — составляющая скорости

ветра вдоль касательной к траектории (встречный ветер), Uу — составляющая скорости ветра вдоль нормали к тра ектории, р — плотность воздуха, т — масса летательного аппарата, J z — момент инерции относительно попереч ной оси, 0 — угол наклона траектории, v — угол танга

жа, а п — угол между вектором путевой скорости и про дольной осью, Су, m“z2, ntmz — аэродинамические коэф

фициенты.

Предполагаем, что скорость ветра существенно меньше скорости полета V, и сохраняем только первые степени

компонент ветра. Уравнения (3.97) преобразуются к виду

о	I	1 q _1		I 2UX „ ___ 2ЦХ					иUyу
0 +		Та 6 Та V +			TavV 9		TaV		T.V ’
									V
							2< C ^			(3.98)
w z +		0 . m z ( l i z J r	& m z V		— flm z0		+		® z +	(3.98)
			,	K * u *		V	2a™u*n		amz^V
			+	— —		V	=
где				v — (0z = 0,
где							OiZ
	2m						OiZ
Tn —	2m		az:_ = —			P V b n \m z		aa = —		2J,
						2JT			m z	2J,

Для случая изотропной атмосферной турбулентности Uх, Uу являются некоррелированными случайными функция

ми времени. Согласно общепринятым представлениям, эти функции могут быть записаны в виде выходных величин линейных формирующих фильтров, на входе которых действуют белые шумы.

В частности, типовыми являются следующие форми

рующие фильтры:
®х + y ^ х =	(3.99)

С ,+ Т и > + Т и ‘, ~ 1 "

(3.100)

a ; + i u ',

136	РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У Р А В Н Е Н И Я МЕТОДОМ РЯ Д О В [ГЛ . Ш

где L — так называемый масштаб атмосферной турбу лентности (линейная величина), £ х, \ у — некоррелиро

ванные белые шумы со спектральными плотностями

2 T aw

3 Т в?/’

(3.101)

o\j

— дисперсия скорости

ветра.

Введем обозначения:

O' — 0 =

x i,

co* =

*^2i

— «3i ^7„ == *4.

— 1з.

l«> 1* =

Is. «11

s ) 5"

7’b

«12=

l ,

л и

fll3 _

’

«21

T0J/

a “

e“

2a« „

«23 — —jT ,

7712

^21 —

Л22

2umz

«33 = «34 : - a*4 =

«55 =

Уравнения (3.98) — (3.100) с учетом этих обозначений

дают

*i + «11* 1 + «12*2 + «13*3 +

лп*1*5

= 0 ,

-f- « 2 1 * 1

-(-

« 2 2 * 2

« 2 3 * 3

4 “ Л 21*1*6

4" Л г2 * 2* 5

= 0 )

* 3

+ « 3 3 * 3

4 *

« 3 4 * 4

—

1 з .

(3.103)

* 4

“I- «44 * 4

?4 ?

*6 4" «55*5 = Is-

В данном случае п — 4, т — 1, т. е. действует лишь

один независимый параметрический шум. Формула (3.96) для данного случая принимает вид

Рх — Рст(*1. • • *4’ 0 у\ 1’

(3.104)

Уь — ^i(£5*i*/i-

i. i - i

§ 3.3] ДИ Н А М И КА Л И Н Е Й Н Ы Х СТО Х А СТИ ЧЕСКИ Х СИСТЕМ 131

Система уравнений (3.95) для данного случая выгля дит так:

Aiiis — 2	(a I‘iApk:b Т" а Р1;Лрг'о)			^55^i,1 1/с5	'
V—1 4		(Api-Aqkb "Ь ApkAq[&)			SbbA56Ails5 —
—	2	(Api-Aqkb "Ь ApkAq[&)			SbbA56Ails5 —
	P, q=l
			— 2	(ftpiA p k -f- n pkA p i). (3.105)
			p= i
Из выражений (3.102), (3.101) следует:
S33^ 3 - ? - e b ,			Su = ( V 3 - l ) * a b ,			(3.106)
S3i = Si3 = (3 — /3 ) ay,				555 = 2-£~0у.		(3.106)
S3i = Si3 = (3 — /3 ) ay,				555 = 2-£~0у.
Все остальные S pq =			0. Кроме	того,
А3ъ —			2а55	2а55	а ь b L	(3.107)
А3ъ —		М 55	*Ь'В5			(3.107)