Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 103

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

138 РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У РА В Н Е Н И Я МЕТОДОМ РЯ Д О В [ГЛ . III

где

 

«11 «12 «13

0

 

 

0

0

0

0

 

«21

«22

«23

0

,

ГГ

0

0

0

0

 

0

0

«33 «34

S =

0

0

S 33 £ 3 4

 

0

0

0

«44

 

 

0

0

£ 4 3 S 44

В раскрытой форме это уравнение имеет вид

М и 4~ 2ацМц +

2а12М 12 4" 2«13Af13 =

О,

 

 

 

М ц +

(яц 4~ а22) М i2 +

dx2M 22+ а13М23 +

 

 

 

 

 

 

 

 

4" «21^11 4" «23-^13 = 0.

•М13 4~ («п 4“ «зз) М 13 4~ di2M 23 4" Я13.М33

 

И-цМ ц = 0,

М ц +

(«ц +

ам)М ы

d12M 2i -|- d13M 3i — 0,

 

М 2j

2а21М12 4~ 2a22M22 4- 2й23М 23 — 0,

 

 

 

М 23 4- а2хМ13 4“ («22 4- «зз) М 23 4- «23-^33 4“ «34^24 = 0,

М 24 4- a2iMu 4" («22 4~ « 44) М 21 4- d23M 3i — 0,

 

М 33 4~ 2а33М33 4- 2«34М34 =

^33*

 

 

 

 

М 3\ 4* («33 4* «44)-^34 4" «34-^44 = £341

 

 

 

 

Л/ 444- 2а44М44 =

544.

 

 

 

 

 

 

 

После нахождения Л/ коэффициенты

Л ift

определяются

по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

 

Ми

 

 

 

 

 

 

 

л «к —

 

| м | »

 

 

 

 

где М ы — алгебраическое дополнение элемента к-й стро­ ки, i-то столбца определителя | М |. После подстановки найденных коэффициентов A ih в уравнения (3.108) коэф­ фициенты A thb определяются путем решения системы 0 ,5 п (« + !) = 10 линейных относительно A iht уравнений.

Расчет был проведен при следующих значениях пара­ метров:

Г» = 1,25 сек-1, «otz= 4,2сек-2, йтг = 1,5сек-1,

V — 100 м-сек-1, L = 200 м,

§ 3.4]

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ

139

при

которых коэффициенты уравнений

равны

 

«и =

0,8, Й12 =

— 1 ,

яп = 1,610-2 лГ1,

ой = 0,810-2 мг1,

аг1 = 4,2 сек~2,

ам =

1,5 сектх,

а23 =

4,210-2 лГ1 сек-1,

 

 

л21 = 8,410-2 ж' 1 сек-1,

я22 =

310-2 м

 

 

Я33 —■Я34

Я44 ■

0,5сек 1,

 

 

 

= 1,5 сек-1,

= 1,27сек-1,

аи

=

0,535CeK-1,

 

 

 

аи

 

 

 

 

и значениях S bbla\j = 1,0, о2и =

25 At2 сек-2.

Функция

у ъ

при

этом в установившемся

режиме равна

 

Уъ =

— 47,6ж2 — 52,4^43:2 — О.вж^з —

 

 

 

 

-0,034яЛ + 106,7а:2 + 1,4*,*, - 0,52а*с* + 0,0024а:2 -

—0,004а:за;} + 0,0024а:2

На рис. 3.2 представлены сечения полученного рас­ пределения (3.104) без учета условия нормировки. Видно, что учет флуктуаций параметров дает заметную поправку

распределения. Как и в общем случае, полученное рас­ пределение является приближенным и теряет достовер­ ность в области больших значений аргументов.

§ 3.4. Статистическое исследование непрерывных адаптивных систем

Широко известно, что непрерывные адаптивные систе­ мы, в частности непрерывные системы экстремального регулирования, поисковые и беспоисковые системы пара­ метрической настройки, описываются в общем случае не-

140

РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У РА В Н Е Н И Я МЕТОДОМ РЯ Д О В [ГЛ . Ш

линейными и нестационарными дифференциальными урав­ нениями [3.13]—[3.16]. Сколько-нибудь общая теория этих систем была создана лишь для квазистационарных режи­ мов, при которых процессы адаптации или движения к экстремуму протекают достаточно медленно. Довольно многочисленные попытки [3.13], [3.17] — [3.19] аналити­ ческого исследования форсированных процессов адапта­ ции наталкивались на значительные трудности и были успешными лишь в отдельных частных случаях.

Изложенный метод решения ФПК-уравнения, по-ви­ димому, открывает определенные возможности в развитии теории непрерывных адаптивных систем.

Идеальная градиентная система при действии адди­ тивных белых шумов. Для поиска экстремума (экстре­ мумов) функции часто используется метод градиента. Рассмотрим систему, подчиняющуюся уравнениям [3.23] — [3.26]

4 ^ + &’

* = 1 . 2,

(З-ИО)

где F = Р(хг, . . ., хп) — экстремальная (многоэкстре­

мальная) функция, £г — некоррелированные белые шумы, спектральные плотности которых 5 г пропорциональны коэффициентам k t:

А,-

= — , а = const, = const.

Коэффициенты k t 0 при поиске экстремумов-минимумов и k t 0 при поиске экстремумов-максимумов. Для уста­

новившегося режима в данном случае может быть указано точное частное решение ФПК-уравнения. Действительно, ФПК-уравнение в данном случае принимает вид

д In р

S

*i

dF д In р

■

iU

д2In р

э\п р \~-

~дГ~

щ

дх?

+ dxi )

.

 

г=1

 

г—1

 

 

П

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что оно имеет решение

In р = —2аF + с,

(3.111)

§ 3.4]

СТА ТИСТИЧЕСКОЕ И ССЛЕДОВАН ИЕ СИСТЕМ

141

где с = const определяется условием нормировки

оо

§. - . ^ р dxx . . . dxn =

=exp (с) J . . . $ expl— 2аF (хх, . . . , xn)] dxx... d x n = 1•

—00

Решение (3.111) является исключительно простым. Рис. 3.3 иллюстрирует это решение для одномерного случая.

Рис. 3.3.

Верхний график изображает функцию F (х), нижний —

установившуюся плотность вероятности. Многоэкстре­ мальной функции F соответствует многоэкстремальное

(многомодальное) равновесное распределение, причем экстремумы функции F «подчеркнуты» в распределении

вероятности *). Однако возникает вопрос об устойчиво­ сти частного решения (3.111) и о том, каким начальным распределениям это решение соответствует. Для ответа на эти вопросы воспользуемся методом рядов.

*) При а -* ос (Si —>0)

распределение

концентрируется в

точке наиболее «глубокого»

экстремума, что

соответствует тео­

реме Бернштейна [3.23].

 

 

142

РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У РА В Н Е Н И Я МЕТОДОМ РЯ Д О В [ГЛ . I II

Предположим, что функция F представлена степен­

ным рядом

П

F = 2 2

Ч о- 2

Ч- •••>

i. k = l

i, к, 1=1

 

где a ih, a ihh ... инвариантны к порядку расположения

индексов. Уравнения (3.110) принимают вид

Ч-

п

п

Ч” • • ■= % 1 ‘

OCfk x k ~ i ~ ^ i

2

 

к=1

к,1=1

 

В соответствии с этим уравнения (2.14) коэффициентов распределения вероятности имеют вид

 

n

п

ч

А 0

2*~2 S p ( A p p

- f - А р ) —2 k p ^ p p i

 

 

V—1

Р—1

 

 

п

п

 

2 ^ P ^ p i^ P

2

р= 1

р=1

(^ P P i “1“ -^рг-^р) —

п

 

 

 

 

“

2 2 ^pCtppj,

 

 

 

 

 

Р=1

 

п

 

 

п

 

 

 

2

(a Pi-^Pk "Ь a p k ^ p i)

2

2

^pa pifc^p —

Р =1

 

 

Р=1

 

 

п

 

 

 

 

 

 

2

*^р(3-4ррг/с Ч- 2 4 ргкЛр Ч* ApiApk) =

p = i

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 2 ^ - p a p p i k i

 

 

 

 

 

Р=1

 

 

п

 

 

 

 

 

а

2 * Р

(a p i ^ pfti — s Ч - - . - +

а Р а А рк1 _

j) —

'~N~'

Р=1

/Г"’

 

 

^

 

п

 

 

 

 

 

/V _1 2

k p (UpikApim ... S Ч- • • • +

a PrsAp’ik

f) —

P=1

i (3.112)

Смотрите также файлы