Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

что соответствует решению (3.111). Для исследования устойчивости этого решения по Ляпунову производим линеаризацию уравнений (3.112) в окрестности это­ го решения, т. е. записываем уравнения первого

с множителем 3/а в уравнениях (3.114) можно отбросить и записать приближенные уравнения:

AAj Ч- 21 JcpQ’piААр — О,

35=1

• • -Ч" ®PsAApjj; _{) Ч-

п

^^ ^Р fapik^ Aplm^s +

Легко показать, что если при kt > 0 в начале координат располагается экстремум-минимум функции F, то триви­

альное решение системы уравнений (3.115) устойчиво, а значит, устойчиво распределение вероятностей (3.111), (3.113). Аналогично, если при kt < 0 в начале координат

146 РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У РА В Н Е Й ИЯ М ЕТОДОМ РЯ Д О В [ГЛ . III

располагается экстремум-максимум функции F, то три­

виальное решение уравнений (3.115) и распределение ве­ роятностей (3.111), (3.113) устойчивы.

Действительно, пусть функция F имеет в начале коор­ динат экстремум-минимум и k t 0. Квадратичная форма

П

~2~ 2 aikxixk i,k=i

при этом положительно определенна и все корни %i ха­

рактеристического уравнения первой группы уравнений

(3.115)

Как следствие, все переменные ДА,- (t) первой группы

уравнений (3.115) стремятся к нулю при t —>■оо. Перенесем

п

члены 2 2 kp&pih&Ap второй группы уравнений (3.115) в p = i

правую часть и будем рассматривать как правые части неоднородной системы уравнений. Корни характеристи­ ческого уравнения, соответствующего второй группе урав­ нений (3.115), равны попарным суммам величин (3.117):

и отрицательны. Отсюда и из стремления к нулю величин ДАДг) следует, что все AAjft( £ ) 0 при *-> оо. Анало­ гично для N-й группы уравнений (3.115), в которой все члены, кроме содержащих переменные с N индексами

(■Alit...»), перенесены в правую часть, корни характери-

~~~N

стического уравнения равны

-f- Xj -f-. . . -f- Хг (3.119)

IF

и отрицательны. Поэтому все ДA y ... „ (t) стремятся к нулю при t-+- 00.

Итак, при указанных условиях все величины

N

стремятся к нулю при t оо, что означает устойчивость

(в малом) распределения (3.111), (3.113) при достаточно низких спектральных плотностях шумов.

Для исследования устойчивости распределения в боль­ шом, для определения области притяжения в пространстве коэффициентов распределения, необходимо исследование устойчивости рассматриваемого решения нелинейной сис­ темы уравнений (3.112). Это можно осуществить лишь в конкретных частных случаях и в приближенной форме. Иными словами, такое исследование можно выполнить лишь численным методом.

В качестве примера рассмотрим одномерную систему (п = 1). В этом случае уравнения (3.112) принимают вид