Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

148 РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У РА В Н Е Н И Я МЕТОДОМ РЯ Д О В £ГЛ. I II

лен на рис. 3.4. Уравнения (3.120) принимают вид Лх — 2кгАг — Si (4 Ш + Ац А ^ = 0,

А ц — 4kiAn Si (ЗЛШ 1 -j- 2А1ПАг Ц- А\А =

= — 4,46ки

Ат 3fci(24m —0,744ЛХ) —351 (2Л11цх 4"

+ЛхЛцц 4* Лц Лщ ) = 0,

А хин —5 k i (2Лххих —0,744ЛШ4" 0,06Лх)—

— 55х(3А ХХ111И + ^l^nnix + А ц А щ ц +

+4iii^uii) = о,

Лш т —6А:х(2Лхх11т1+2Лх41Ш111+2^4хх^4шт+

+24xxi^lurn + ^ 1ш) — О,

Если начальное распределение симметрично, так что

Лг (0) = A in (0) = .4x1111 (0) = . . . = О,

то уравнения (3.121) имеют решение

А 1 (t) = А ш (t) =-.<4x1111 (<) = . • . = О

и с учетом этого принимают форму

Л и — 4 & х Л х х — ^ ( З ^ х х ц + A i i ) = — 4 , 4 6 & х ,

Лm i — 4/ci(2^nn — 0,744Лц) —

—251(5Лц1111 + 2 АцА т А = 1 *2Лгх,

(3.122)

Будем искать распределение с точностью до членов ше­ стой степени, т. е. будем полагать Лщ ц щ = . . . = 0.

Система уравнений (3.122) становится при этом замкну­ той. Для сокращения числа параметров уравнений введем безразмерное время т = кtt. Тогда уравнения принимают

где а = k J S x. Если начальное распределение является

равномерным, то

-4ц (0) — 4 т 1 (0) = 4 111П1 (0) = 0.

Для этих начальных условий и а = 1 уравнения (3423)

были численно проинтегрированы. На рис. 3.5 представ­ лена динамика изменения распределения вероятности во времени. Несмотря на большие начальные отклонения, распределение плотности вероятности с течением времени стремится к

р = с ехр (—2х1 -f- 0,2П2х\ — 0,02a;J),

что соответствует решению (3.111), (3.113).

Как уже отмечалось, алгоритм (3.110) можно рассма­ тривать как алгоритм случайно-детерминированного ме­ тода поиска экстремума. Из полученного решения (3411) видно, что если функция имеет много экстремумов, но «главный» (искомый) экстремум сильно отличается от

других по величине, то подбором а можно, по крайней

мере для начальных распределений, близких к (3.111), добиться высокой вероятности нахождения главного эк­ стремума и малой вероятности прихода к неглавному экстремуму. В этом случае данный алгоритм поиска может применяться без дополнительных процедур. Если

же экстремумы близки по величине, то согласно получен­ ному решению вероятности прихода в окрестности этих экстремумов будут сопоставимы по величине. В этом слу­ чае путем статистической обработки можно выполнить анализ найденного экстремума и в случае его отличия от искомого, осуществить переброс начальной точки поиска в соседний «квадрат» (заранее выбранный район поиска). Подобные операции «глобального» поиска широко извест­ ны [3.20], [3.13], [3.21].

Заметим, что, помимо задачи поиска экстремума, урав­ нениям (3.110) и изложенной теории можно дать совер­ шенно другую интерпретацию. Действительно, уравнения

(3.110) при п — 3 представляют собой уравнения движе­

ния броуновской заряженной частицы в электростати­ ческом поле с потенциалом F. В этом случае xv x2, ха — геометрические координаты частицы, кх = ка = ка —ве­

личина, пропорциональная заряду частицы и обратно пропорциональная коэффициенту вязкого трения (силой инерции в сравнении с силой Стокса пренебрегаем),

мер, при рассмотрении электростатических улавливающих фильтров (электроулавливания), электроокрашивания, электросепарации (о данных технологических процессах см., например, [3.22]).

Система экстремального регулирования с синхронным детектированием при случайных сигналах поиска. Из­ вестная структура системы экстремального регулирова­ ния с синхронным детектированием изображена на рис. 3.6. Если объект безынерционный и описывается квадра­ тичной формой, то уравнения системы запишутся в виде

рости дрейфа эстремума, 624 — поисковые составляющие, кi — коэффициенты усиления каналов, a.jh — постоянные

величины. Будем считать, что поисковые колебания пред­ ставимы с помощью формирующих фильтров типа аперио­ дических звеньев:

Tlabti + bxt = £*п, i — 4, 2, . . ., re, (3.125)