Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 98

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5 3.4] СТА ТИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕД О ВА Н И Е СИСТЕМ 153

ставления искомой логарифмической плотности полино­

мом четвертой степени,

в данном случае имеют вид

 

 

 

3п

 

 

 

А }

2 ^ p iA p

2

(4-pgi "4“-ApiAy) — 0 ,

 

 

P =1

 

P, 4=1

 

 

 

 

3n

 

 

 

 

 

■A-ik — 2 (a P iA p k

+ apk-Api)

 

 

3d

P=1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

2 ‘-*P4(3-4p4i/c_f‘ % A pik^q~\-

A p iA q k ) = 6 2 ®PpilO

P. 4=1

.

 

 

p=1

 

 

3/i

 

 

 

 

 

A ik i

2

iflpiApiti "Ь О'ркАрЦ -(- ®p;^4pi/i)

 

 

P=1

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

— 3 ^ (IpilclAp 2

S p q

[ЗЛрЛдЦ.;

(3.132)

 

 

P=1

P .4 = l

 

 

 

3n

-j- {A p jA giii "l- ApfcAgii 4" ApiAqin)] =

0 ,

 

 

 

 

 

 

Aikla—^ i(apiApkii-\"apkApiis-\-<lpiApii!i-\- apsApiki)

 

 

p= 1

 

 

 

 

 

ЗП

 

 

 

 

 

2

(apiklAps +

dpiksApi "f"

"b O’pklsApi)

 

P=1

 

 

 

 

 

 

2

*^434!A pi Aqftis “i“^4p k A g iis~\~A p iA q jfo A '

 

P.4 = 1

-f A PsA q Ucl-\-

I

-j-(i4pi(t^ g(a4-Api/c4 Qil+ ^ p sk/leij+

+ А р ц А д /и + А Р1 ,А а1к

A plsA g ik)] = 0.

Если начальное распределение является симметричным, так что

A j (0) = A i = О, А 1ы (0) = А ш = О,

эти уравнения имеют решение, при котором

Af (0 — 0, A{hl (f) — О,

154

РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У РА В Н Е Н И Я МЕТОДОМ РЯ Д О В [ГЛ . Ш

a A ik, A ikls определяются уравнениями

A ilc —2

v—i

( а Р ^ Р к +a P k A p i) —

зп

Зп

 

2 S p q

( 3 A p qi]( -|- A p i A q i i ) —

62 a PPiki

 

 

P, 9=1

 

 

 

P=1

 

 

3n

 

 

 

 

 

A i k l s

— 2 ( a P i A p h l s

~\~a p k A p i i s + d p i A p i b s +

(3.133)

 

P=1

3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ a PsApikl)

S

(a Pikl-Aps + a piksApi + d p iit A p b ^

 

 

 

P= 1

 

 

 

 

 

 

 

3n

 

 

 

Ч-

®PklsApi)

 

2

^Pq (ApiAqftte -{-

A p kA q j;s -f-

 

 

 

P.<I=1

 

 

+ ApiAqifo -f- ApsAqikl) = 0.

Дальнейшие конкретизация и упрощение уравнений воз­ можны на основе учета выражений (3.129)—(3.131).

Как и в задачах, рассмотренных в двух предшествую­ щих параграфах, коэффициенты A ih, A ikis разделим на

три группы. К первой группе относятся коэффициенты, соответствующие только основным фазовым координатам

xt — Ах* -f бxt, i = 1 , 2, . . ., п.

Для этой группы коэффициентов согласно (3.129), (3.130), (3.132)

ЗП

к

2

'Spqi’^Apqiic -f- Aj^Aq^) =

0,

 

 

p,q=i

 

 

 

 

Зп

^ p q (A p iA q itf s -j- A p kA q U a -(-

 

 

2

(3.134)

 

p,q= l

A PsAqikl) =

0,

 

 

+ ApiAqixs +

i, k, l,s^.n.

Ко второй группе относятся коэффициенты, имеющие индексы п, т. е, соответствующие поисковым состав­

§ 3.4l

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕД О ВА Н И Е СИСТЕМ

155

ляющим bxi и компонентам скорости дрейфа т1ь. Для

этой группы коэффициентов согласно тем же выражениям

A-ik (&ц "Ь &кк) Ajk

3n

—

2 ^Pq i^Apqiis + ApfAqx) =

0,

P.4=1

 

A\kls — (aii 4" akk +

all 4“ ass) ^ikls

(3.135)

3n

 

 

 

2 *^Pe (A p iA q k is -f" AgfrAqiis -j-

 

P .«=l

“1" ApiAqifcg -f" ApsA.qift[) =

0,

 

3n '^ i,k ,l,s'^> n .

Третью группу коэффициентов составляют величины A ih, A ihls, у которых часть индексов ^ п, а другие ин­ дексы |> п. Уравнения для этой группы коэффициентов

оставим в прежнем виде (3.133).

Анализ полученных уравнений в общем виде затруд­ нен. Основной способ исследования — численное инте­ грирование этих уравнений. Самое простое, но наиболее грубое приближение получается при учете лишь квадра­ тичных членов, т. е. когда решение ищется в виде нор­ мального распределения. В этом случае

П

зп

A-ik 2 f a p i A p k ~Ь Q p k A p i)

2 ^ p q A p i A q k =

Р=1

P,q—1

 

3n

 

— в 2 ®ppik> (3.136)

 

p=i

i, к = 1 , 2, . . 3п.

Эти уравнения в матричной форме имеют вид

А — Аа — атА — A SA = р,

(3.137)

где

 

А — I A th ||, а — || aih ||, S = | S ih ||,

р = || 62aPJ><h

p = i

156

РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У РА В Й Е Й И Я М ЕТОДОМ РЯ Д О В [ГД . I l l

— матрицы размерности 3n X Зп. Если перейти к обрат­ ной матрице — матрице вторых моментов

М = - А - 1,

то вместо (3.137) получаем

М + аМ + МоА - М рМ = S,

(3.138)

т. е. матричное уравнение Риккати для ковариационной матрицы. Система в рассматриваемом приближении со­ храняет работоспособность, если решение, соответствую­ щее установившемуся

состоянию

аМ у + .

A-MyCi1 — МурМу ~ S,

(3.139)

устойчиво. Линеаризуя уравнение (3.138) в ок­ рестности установивше­ гося состояния, полу­ чаем

АМ + ( а - М у р ) А М +

+ A M ( a * — p M v ) = 0 .

(3.140)

Для того чтобы решение АМ = 0 этого линейно­

го уравнения было устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы характеристические числа матрицы а — М ур имели

отрицательные действительные части.

Для одномерной системы при отсутствии дрейфа эк­ стремума, как видно из выражений (3.129)—(3.131),

 

 

0

&ic<ii

<7l2

>7*2

а — • т

г

л и

п

, р = fciaii

0 1,

Л =

т>2

0

тв

 

 

пп2

 

 

 

 

1 п

лл

Уравнение (3.138) в скалярной форме в данном случае

§ 3.4] СТАТИСТИЧЕСКОЕ И СС ЛЕД О ВА Н И Е СИСТЕМ 157

имеет вид

М ц — тг,— М i2

 

 

ц = — ,

 

 

 

 

 

 

 

 

Т1

 

 

М у ь

-1------ тт,

A f 22

"1-----77;

Л ^12

 

 

 

 

 

1 п

 

п

 

 

 

 

(3.141)

 

 

 

— ^1аи (Af?2 -|- М\\Муъ) =

?,2

 

 

 

 

■^22 Н--- ™--- -^22 — 2&1<Хц.М12М 22 —

j

 

Для

установившегося

состояния

 

 

 

2

- -

--

 

 

«Ус

’

 

 

 

■-Л^1/12 —

2/с1а 11М щ12М 1/11:

ф2

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

----М у Ъ2 -]

77,

М у 12

^ 1 а 11

{ M v l i

~1~ М

у ц М y w )

j

J n

 

Jn

 

 

 

 

 

J п

— M y i 2 — 2 к г а п М v i 2M У22 =

j •

 

 

 

”

 

 

 

 

■*П

 

 

 

На рис. 3.7 представлены кривые изменения диспер­

сии М п = (A#!*-}- ба^)2 во времени при различных зна­ чениях постоянных х = /с1а117’п, т] = S'JTn, получен­

ные путем численного интегрирования уравнений (3.141). Видно, что увеличение спектральной плотности случай­ ного поискового сигнала, так же как и увеличение коэффи­ циента усиления («форсирование» процесса), неизбежно приводит к потере устойчивости.

Смотрите также файлы