Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 81

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2.1]

Ф ОРМ АЛИЗМ М ЕТОДА РЯ Д О В

37

сходящимися во всей рассматриваемой области фазового пространства. Коэффициенты а ш ... 8 связаны с частны-

"ivTT

ми производными функций fi в начале координат соот­

ношениями

J _ (

dNf.

\

(2.4)

аш ^ = Л^! I

дх дх * дх

I

и симметричны относительно всех индексов, начиная со второго:

O'ihl Щ'Пи Qihlm = ^ilkm ••• •••

Все коэффициенты (2.4) могут быть постоянными (стацио­ нарный объект) или функциями времени (нестационарный объект). Полагаем, что логарифм начальной плотности вероятности представлен в виде полинома или сходяще­ гося степенного ряда:

In р (хх, . . . , Хп, 0) = 111 Ро (хъ . . . , Х п) =

ПП

—

А 0 + 2 A ix i -{- —

2

А i/c x ix k Н----з- 2

A *iklx ix kx l +

 

1=1

i,k= 1

 

(2.5)

где

коэффициенты

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

dN 1п.Р

( 2. 6)

 

(N — 1)! I

дх.дх.

. дх.

 

 

 

 

 

=*.=<>

симметричны относительно всех индексов, т. е. не меняют­ ся при любых перестановках индексов.

По определению плотности вероятности

ОО ОО П

§ • • p0dxx . . . dxn =

 

^ exp (Al + 2 A°ixi +

—ОО

—во

'

i —1

п

 

 

 

+ 4 - 2

A ikXiXic +

. . .)dxx. . .dxn = 1. (2. 7)

Решение ФПК-уравнения, т. е. выражение для текущей логарифмической плотности вероятности In р, ищем также

38 РЕ Ш Е Н И Е Ф ПК -У РА В Н Е Н И Я 1ГЛ . П

в виде степенного ряда

п п

In р (^1»«• • 1*Гп> 0 “ -^0 "4“ 2

^ ixi 4“ ~2~

-^ikxixk Д"

1 = 1

 

г, лг=1

 

 

п

 

 

+ “о- 2

^Шхгхкх1+

•• • (2-8)

 

i, к, г=1

 

 

Подлежащие определению

коэффициенты А 0,

A h

А ш , . . . являются в общем случае функциями времени, свя­

заны с частными производными текущей логарифмиче­ ской плотности вероятности аналогично (2.6):

и симметричны относительно всех индексов. Заметим, что мы ищем решение в форме ряда для логарифмической плотности вероятности, подчиненной ФПК-уравнению вида (1.13):

S l a p

П

 

1

П

„ /

Э3 In р . д In р Э In jo \ __

\ л , д In р

 

dt

“

1 дх.

2,

^

11 \

дх. дх ■

дх.

дх, )

= 2^

г

-

2<-10

г=1

 

 

В принципе можно искать выражение в форме ряда для обычной плотности вероятности р, подчиненной ФПК-

уравнению вида (1.10). Однако есть основание предпола­ гать, что в большинстве встречающихся задач степенной ряд логарифмической плотности вероятности сходится значительно быстрее степенного ряда обычной плотности вероятности. Действительно, для такого характерного распределения, как нормальное, логарифмическая плот­ ность вероятности представляет собой квадратичный по­ лином, т . е. ряд обрывается на квадратичных членах, в то время как степенной ряд для плотности нормального распределения является бесконечным.

Подставляя выражения (2.3), (2.8) в уравнение (2.10), собирая и приравнивая нулю коэффициенты при оди­ наковых произведениях фазовых координат, находим

§ 2.1] Ф ОРМ АЛИЗМ М ЕТОДА РЯ Д О В

формально

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

п

 

 

 

■^0

2~

2

^РЯ ("^Р5

A p A q) ~

21

^рр?

 

 

 

Р, 5=1

 

 

 

Р=1

 

 

 

А —2 a P iA p

2 Sp q ( A p qi -f- A piA q) =

 

 

P=1

 

 

P, 5=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 2 2

a PPii

 

n

 

 

 

 

n

 

P = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

+ ttpfc^4pi) — 2 2

flpife^p —

 

 

P=1

 

 

 

 

P=1

 

 

 

2 S vq (3,4P9ik -f- 2A p in A g

A p iA q/s) —

 

 

P, 5=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 2 a PPiki

 

 

 

 

 

 

 

 

P=1

 

 

Ajltl.,.s

2

(®Pi-^PJt!..s "f" • • • ~b ^'PsApiici...r)

 

 

N

P=1

 

'~N ~'

 

 

~~N

 

 

2!

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a PikApi,n ...s 4- •••+ a prsApin...f) —

 

N ZTf 2

 

 

3!

 

_ 21

2 ( a PiklApdt...s +

■ ■ •

 

 

 

 

 

 

 

(N — 1) (N — 2)

P = i

'~N^2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

... 4“ a p/rsApils...m) — ...

 

 

 

 

 

 

 

 

N- 2

 

 

 

N ~

f

2

a pik...fAprs 4 - • •

• +

Upim—sApix)-

 

П

 

 

P= 1

N - 1

 

 

 

ЛГ-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 (a pik...rAps

4- . . . 4"apft(...s^pi)

 

 

 

P=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- N

2 а

1 Ш...а A p. -

- L

2

5

X

 

 

 

 

'J=i

"ШТ

 

2

jU

“ P5

 

 

 

 

 

 

P. 5=1

 

 

39

(2. 11)

40 Р Е Ш Е Н И Е ФПК-У Р А В Н Е Н И Я [ГЛ. II

X [N (N

1) Apgiic^.g 4"

 

i8

 

 

 

 

IV+2

 

N+1

 

 

 

4~ {ApiAqki,"g -р • • • +

ApsAqik. 'Г) -\-

 

 

 

N

 

 

N

 

 

 

 

2!

 

• • • +

AprsAqiit...f) -f-

 

+ "ft _ — {ApikAql.,.s +

 

3!

 

+ • • • +

^p/rs-^gi^O 4~ • • •

( 2. 11)

~Ь (дг — 1) (N — 2) (^рШ

 

. . • + (APiii...rAps + . . . -p Apki.'.gApi)]

=

JV—2

 

 

 

4-lv~^

 

~~N~^

 

 

 

 

 

 

— N (N +

1)

2

appi/c...«j

 

 

 

 

 

 

P= 1

Д Р и Г

 

Решение этой бесконечной системы дифференциаль­

ных уравнений при начальных условиях

 

Л 0( 0 ) = л ° ,

4, ( 0)

=A°u Aik (0) = A°ik,... (2.12)

определяет

коэффициенты

ряда

(2 .8).

 

 

Для корректности и эффективности метода главным яв­ ляется вопрос о сходимости и скорости сходимости ряда (2.8). Получение общих количественных условий и оце­ нок сходимости здесь, как й во многих других задачах, представляет сложную проблему. Однако следующие сооб­ ражения указывают на предпосылки сходимости. По ус­ ловию ряд начального распределения (2.5) сходится. Решение дифференциальных уравнений (2.11) непрерыв­ но и на достаточно малом интервале времени мало отли­ чается от начальных условий. Это дает основание считать, что на начальном интервале времени ряд (2 .8) будет схо­

дящимся.

Далее, если исходная система дифференциальных урав­ нений (1 .1 ) является линейной, шумы отсутствуют (Spq = = 0) и начальная логарифмическая плотность вероят­

ности выражается полиномом, то текущая логарифми­ ческая плотность вероятности будет выражаться полино­ мом той же степени.

Действительно, в этом случае система уравнений (2.11) распадается на автономные группы линейных однородных

Смотрите также файлы