Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

опары. Пусть C=1-t-p , тогда

условие

(3 .7 2 )

таково, что <*=

/,

уЗ = -

7 , / =

О (см . ( 2 .3 ) ) и,

следовательно, имеет место осо-.

бый случай.

Таким образом,

если С= i+fi ,то

решения

задачи'

фактически нет, хотя

приведенный пример вполне реален.

Тот

же

оамый эффект получится и в случае

граничных условий

(3 .7 3 )

для

со

(см . ( I . I 2 ) )

при

К =

•

ы(1)=Ы(1)=ки(1) или

(1 + Ш !-)со(1)=0 .

(3 .7

3 )

Выпадение

из

решений уравнений

( I . I )

и (1 .2 )

этих и

подобным

им реальных

случаев указывает

на

некоторую

неустранимую

в

допущениями,

принятыми в теории пологих оболочек.

С в о й с т в о

12 . Соотношения ( 1 . 17)

и (1 .1 8 )

для

по­

тенциальных

энергий

представимы

в

виде

1

Uc = * { ы ( 1 ) [ ы ( 1 ) - # а ( 1 ) ] - ,

(3 .7 4 )

О

1

Uu= §f {e(l)[e(l)+ < jQ (l)]-Jp Q L (e)df }

•

(3 .7 5 )

о

Действительно.

Подынтегральное выражение

( I . I 7 ) после

за ­

мены

с*Л

и

бг

через

<*>

(см -

(1 .5 )

) и

использования

тождества

(2 .1 7 )

записывается

в форме(3 .7 6 )

и его

интегриро­

вание

приводит к

( 3 .7 4 ) .

( р оно') '--p to L (to )- B p cooj\

(3 .7 6 )

Точно-таким же путем выводится ( 3 .7 5 ) .

Как следствие из полученных соотношений вытекают неравен­

ства

(3 .77)-,

справедливые

для

подвижных

(без

контурного

уси­

лия)

и неподвижных

опор в

случае

защерддения

иди

шарнира при

отсутствии

внешнего

момента.

I

1

рсо L ((о)с/р

£ 0

;

jpQ L(Q )dp< ,0 .

(3 .7 7 )

О

l (u)) = -2у [ в г+ г е е 0} = - ^ Ы ~ в 0г ] ■

( 4 . d

р

~ ?f pMp)dp+<A(e+e0)=Oi

/).

(4.2)

б

В (4 .2 ) отброшены члены, содержащие

сосредоточенные"

силы,

не может

[ 2 2 -

24

и др .]

. Кроме того, в0 ( Д )

должна

быть

гладкой

функцией,

имеющей хотя

бы одну непрерывную и

конечную

производную.

В

противном

случае кривизна

недеформированной обо­

лочки будет

разрывной,, что

неизбежно

приведет

к

нарушению без-

мбментности

состояния

оболочки

[ 22 -

24

и д р .]

. Также

со­

вершенно очевидно,

что

края

оболочки не

могут

быть

защемлены

и з-за

ее

безмоментности.

Покажем сначала,

что

мембранная

оболочка

является

всегда

нежесткой, в цлучае граничных условий

(3 .2 0 )

независимо

от

ве­

личины 1Ц0 1^0. Этим она отличается от моментной оболочки,

где

нежесткость может появиться только начиная с

некоторого

зна­

чения

l^ o l

. Рассмотрим

для

примера

случай,

когда в(р ) опи­

сывается выражением (4 .3 )

и

удовлетворяет

х'раничным условиям

(4 .4 ) для шарнирного закрепления без

контурных моментов.

=

При

(4 .3 )

9о(1)+< и& о(П =0.

(4 .4 )

При Q —О

система уравнений ( 4 .1 ) и

( 4 .2 ) имеет

следующие

два решения,

два состояния

нежесткости. 6 (p ) = - 0o(fi),b ri(p )

удовлетворяет уравнению 2pL(CO')=

и

доугое

решение

в(р) = ~2 &0 (р )

и

сО(р') = О.

в существовании

указанных

реше­

Предположим,

что у данной оболочки имеются два

различных1

состояния при одних и тех же внешних

нагрузках “ и

одинаковых

граничных

условиях.

Эти два

состояния определяются

соответ­

ственно функциями а)] ,

в ,

и и)2

,

вг .

Пусть

об9 о01(р)^О

воюду. Из уравнений (4 .1 )

и

(4 .2 ) можно

записать

L (a>f -u )z) = -gp

- вд2 ]

,

(4 .6 )

^Г@й1

■

( 4 .6 )

Исключая из

этих

уравнений функцию &a2 i

получим

L(U)r

------------Щ ---------- Г"~

‘

(4 .7 )

Так как по предположению обе: и>1 >

О,

то

знак'

правой

части

(4 .7 ) совпадает со

знаком функции сО/~а)г

, но тогда она долл!

на

быть хотя бы на каком-то

участке

между ее

двумя

нулями

монотонной функцией

соответственно

свойству

9

(§

1 . 2 ) , од­

нако

она

не

может

быть монотонной ни в

этом случае,

ни

на

всем

интервале O ^ p ^ f , так

как

сОг~а)г /^..рО

,

Полученное

противоречие

и доказывает

данное утверждение.

Дадим оценку

величины усилия

N > 0

,

которое

необходимо

приложить к краю мембранной оболочки,

чтобы обеспечить

усло­

вие о)(р)~^0 всюду.

Для этого

из

уравнений ( 4 .1 )

и

( 4 .2 )j

ис­

ключим

1

тогда

получим

4

2

Р

Ц М ) = - А

[ £ у г ( / p M fi) d p ? - 6 02].

(4 ,8 )

о

Граничное

условие

будет

U )(f)~N

.

Учитывая

это

условие

и

взяв для примера случай постоянной

нагрузки (Л (р~) = /)

и сфе­

рическую оболочку,

можно представить

од(р~) в

следующем виде,

если

для

решения (4 .8 ) воспользоваться

соотношением

( 2 .2 ) .

a ) l p )

+,j

/ О - S г ) & - 4 S *

Р

Зак.188