Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

в‘(П = ~ р в ( 1)± о ,

что указывает

на

немонотонность

в(р),

так

как

в '(О) > 0

•

у которых в(р)~

Перейдем к исследованию форм нежесткости,

знакопеременная функция, но такая, что

в(р) й /ва (/>) /.

Их быть

также не может. Действительно. Правая часть

(3 .6 2 )

всюду поло­

жительна. Следовательно, на участке, где

6(р )> ,0, она

должна

быть монотонной, что не может быть,, так

как

на концах

этого

участка

в

принимает нулевое

значение

или

в'

на

его

кон­

цах принимает значения с противоположными

знаками

(в

случае

шарнирного

закрепления

ВО )).

Итак,

остались

неис-

ключенными состояния,

когда Q(p) > ,0

или

знакопеременна,но

при

этом на каком-то участке

должно быть

6 (р)>,1в0(р}/.Одним оло­

вом,

вй (р)

при этом знакопеременна.

3)

и (р)

~ знакопеременная функция.

В этом

олучае

сразу

исключаются все состояния, приводящие к

знакопостоянной

функ-f

ции напряжений <о(р)

. К

таким формам

относятся

в ( р ) & 0

;

О ± & (р )- ? / 90(/)h 9(ph2fOJ(p)l (см .

свойство 8) .

Докажем

не­

возможность существования состояний нежесткости, если 6 (р) бу­

дучи

знакопеременной

удовлетворяет

неравенству 0 (рМ f90 (p)j

и опирание

подвижное (ь)(1) = О) .

Пусть для

определенности на

первом участке

своего

знакопостоянства

0 £

р

& р %

функция

Q(p)>/Q.

Если

при

этом

со'(0)>0 ,

то

<^ур) будет на указан­

ном участке

монотонно

возрастающей

функцией

(свойство

8 ,

пункт

в)

§

Г . 2) , так

как

правая

часть

уравнения для

со (р )

( I . I ) неотрицательна на рассматриваемом

интервале

изменения

аргумента.

Следовательно,

первый нуль p g }I-

О

функции

со

бу­

дет

находиться

строго

правее

точки р

.

На

следующем

участке

р

&р

^

знакопостоянства

в (р )г где

она

есть

неположи­

тельная функция, в(р }

должна в какой-то

точке р - р

иметь

от­

рицательный минимум и поэтому

L (в (р )

> О

тогда, как

сле­

дует

из

( 3 .6 2 ) ,

когда

имеем

со (р ) £ О .

Поэтому p g £р

■Сле­

довательно,

на участке

р

р

^ р 3

функцияь>(р) будет

мо­

нотонной и поэтому

ее

следующий нуль р

у р 3 .

И т .д .

на

всех

участках

знакопостоянства

в ( р ) .

Каждый

нуль со(р) кроме

р = О должен находиться

строго

правее

соответствующего

ну­

ля б ( р ) . Рассмотрим

последний интервал

знакопоотоянства

G(р) ,

правый конец

которого

есть

р -

1

,

Если на краю

имеет­

ся жесткое

защемление,

то р -

1

-

одновременно нуль

как

для

в

,

так

и

для

со

,

что невозможно.

Еоли

жеимеется шарнир-

о 8к♦188

ное

опирание, то поскольку при этом

6(1)=-р9(1), ' &(/>) не

есть

монотонная функция на указанном

участке

и ее

нуль

будет,

лежать правее р - 1

, в то время как

со (1) -

О

.

Получаем

противоречие и такие формы существовать не могут в

рассматри­

ваемых условиях.

До сих пор"мы предполагали,что 9(р) на первом участке сво -"'

его

знакопостоянства

положительна

и

со'(о)> 0 . Пусть

сейчас

<о '(0 )£ О .

В какой-то точке

Оср

£-р функция

9 (р ) имеет

положительный

максимум и тогда

L(Q(p))cO

и

со(р)>0. Поэто­

му на участке р ^ р й

р 1 функция со(р) будет

положительной

мо­

нотонно возрастающей

и все дальнейшие

рассуждения в

точности

если

на интервале

О ^ р ^ р будет

9 (р )^ 0 .Таким образом,ес­

ли 9(1)= О

или

в'(1)+рв(1)=0

и

со( 1) =0, то подобные состо­

яния

нежесткости

существовать

не

могут. Если же опора

н е-

’ подвижная ~-

(co'O h ^ ^ O h o) 7

то

поскольку со(1)ФО, то

ни­

чае рассматриваемые

формы нежесткости

не исключаются.

Остаются

также

неисключенными следующие формы

нежестко­

сти. в (р ) > , 0

, но на каком-то участке

9(р)>,2./в0(р)1 и

д(р)~

знакопеременная,

будучи на

каком-то участке

6 (р) > I в0 (р ) / .

Подводя итоги, можно сформулировать данное свойство

сле­

дующим образом.

Еоли у

сферической оболочки существуют состояния нежест­

кости, когда

со(1)=0

или

(o'(l)-p (o(lp О и

в ( 1 ) = 0

или

в '(/)+

+ р 9 (1 ) = 0

» то

они, возможно, могут

быть

только

следующих

типов.

а ) со(р) ^ 0

и 9 ( р ) ^ 0 , когда на

каком-то участке

в(р)>

участке

9 (р)

>, /9 0(р ) /.

в ) со(р) ^ 0

и /в0 (р )р

Q(p)^2leo(p)j

только

в

случае

шарнирного

закрепления,

г )

(о (р)

-

знакопеременная

и 9(р)>/0

, когда

на

каком-

то участке

в ( р )

» 2. 1 в0 (р ) /.

л )со (р )-

знакопеременная

и

9(р) - знакопеременная буду­

чи на каком-то

участке 9 (р )

> j 9 0 ( р ) / ,

е)б)(р)~

знакопеременная

и 9(р) знакопеременная,

когда

0 [ р ) Ф о (р) 1

только в случае

граничного условия

со'(/) -

- р со ( 1 ) ~

о .

Все приведенные

неисклгоченные

состояния нежесткости

должны,

удовлетворять

следующим неравенствам, вытекающим из

(2 .2 7 ) и'

из уравнений

(3 .6 2 )

и ( I .Г )

соответственно для 6 (р)

и ы(р).

На любом

интервале р о £ р

4 р

, на концах которого

в рав­

на нулю,

имеем

Р<

/

> г

J

9 ( p ) ^ jf- [d(p)+9„(p)]ctp 6 о -

(3 .6 3 )

S M

[e(pbie.(f )]dj. > O' .

(3 .6 4 )

Известно,

Л

контурных нормальных

усилий)

что при подвижном (без

и неподвижном

защемлении края пологой оболочки в

виде сегмен­

та сферической поверхности до сих пор

при

численном

решении

на ЭВМ никем не была обнаружена

ее нежесткость

(с м .,

например,

[ 21] ,

где

рассматривались случаи до

довольно

больших / $0

/).

Однако, насколько нам известно,

никто

еще

строго

не

доказал,

что в рассматриваемом случае не

существуют

состояния

нежест-

кости. Мы пытались сделать это

показом того ,

что все

перечис­

ленные выше неисклгоченные состояния нежесткости

в

действи­

тельности существовать не могут.

Однако эти

попытки

не

уда­

лись. Поэтому возникает мысль, что не

исключена

возможность

существования состояний нежесткости, которые

появляются

или

при сравнительных больших

140 /

, или не

укладываются на в е т -,

вях характеристик

(диаграмм параметр нагрузки -

прогиб),

най-'

денных

на ЭВМ.

Наличие отделённых ветвей

характеристик вполне

возможно

для

жестко защемленного

сферического

купола

(с м .,

например,

[3 ]

) .

Следовательно,

поиск

форм нежесткооти у дан­

ного типа

оболочек следует,

по

нашему"" мнению^, продолжать,

так как это имеет, как уже отмечалось выше, немалое

теорети­

ческое и прикладное значение.

Совершенно

очевидно,

что

если имеются формы

нежесткости,

то они могут появиться только при не очень маленьких

/ 4 0/

»

потому ■ что при

40 = О

(пластина)

их

н ет,"

так

как

там

(О(р) ^ 0

и тогда формы

нежесткости

отсутствуют

(свойство

3 ),

Покажем на

примере, как

в

ряде случаев

можно

подучить....оценку1

величины

j40 j , ниже которой

не

существует

форм

нежесткости

данного типа..

Рассмотрим формы типа

а )

и

б) , перечисленные

выше в случае

жесткого защемления. Применим к

в(/>)

тождество

(2 .2 7 ) на

интервале рд 4 р 4

р

t где

она

положительна

и

на концах которого равна нулю.

Тогда

получим

Или после

замены ео(р) г - )ы (р ) /

(так

как о ( / > ) ^ 0

)и

пе~

регруппировки некоторых членов последнего уравнения,

оно

при-

нимает

вид

/

9ola)l~ Q'1] } ty “

0 •

(3 ' 65)

Л

квадратная скобка и з (3 .6 5 )

отрицательна.

Первая

квад­

Вторая

ратная скобка и з (3 .6 5 )

может

иметь любой

знак.

Оценим ее

ве­

личину.

Для

этого воспользуемся

неравенством ( 3 .2 6 ) , где

tD'(p)

удовлетворяет

уравнению (3 .2 7 )

для

сферы.

Тогда

имеем в

слу­

чае подвижного

защемления

со(р)=-^ (р-ра)&0\

(3.66)

а для

неподвижного

<•>(?)*-%

р - р ‘ ) i

п

■

(3.67)

Из (3 .2 6 )

получаем

1(о(р)1& / & ( р ) 1 .

(3.68)

Учитывая (3.68),

можно

записать для первой квадратной

скобки

из (3.65) неравенство

(3.69)

в

случае

подвижного

защем.ченич

(^

*

mpltol- y «

тр/со/- ~

рА- р г)~ 'jr

■

( 8.<:У)