Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

4-N > £

.

(3 .5 8 )

При

N =0

нежестокость

сферического

сегмента обнаружена,

на­

чиная

с

соответствующего

,

при шарнирном

закреплении

в

ряде

работ

[18,

1 9 ,

3 , 20

и

д р .]

.

Приложение# в

соответ­

ствии

с

(3 .5 8 )

снимает

эту

нежесткость, что

весьма важно,

так как

нежесткость

оболочек

не позволяет

вести

расчет

по

нижней критической

нагрузке,

являющейся тогда

отрицательной.

в )

В

случае

чистого

изгиба

оферичёекой

оболочки

при

1

2

(см .

3 .5 8 )

имеется

только

одна форма

равновесия

N >-jjr

$0

для любого

М ,

удовлетворяющего условию

М + 2 $0 ( 1 +<и) 4 о ;

а о £ о ) •

(3 .5 9 )

Чистым изгибом

условимся

называть деформацию,

происходящую

под действием краевых моментов

М

при отсутствии

каких-либо

поперечных нагрузок.

Правильность

данного

утверждения

вытекает

из

неравенст­

ва ( 3 .5 7 ),

которое

переходит

в

(3 .5 9 )

в

случае

сферической

оболочки.

Это обстоятельство интересно тем,

что

приложение

к

краю

сферической

оболочки усилия

N

в

соответствие

с

неравен­

ством

(3 .5 8 ) ликвидирует

опасность потери устойчивости

в боль­

шом в

случае

чистого

изгиба.

В

самом

деле, как

показано

в

§ 2.2 (свойство 6) нижнее критическое значение

М

в

случае

чистого

изгиба

сферической

оболочки""не'

может

быть

больше

2/40 / (!* - {{)

.

Таким образом,

если

соблюдается

( 3 .5 9 ),

то

нижняя критическая нагрузка

отсутствует, следовательно, нет

и

верхней.

Вывод о существовании единственной формы

равновесия

для

всех

М

,

удовлетворяющих условию

( 3 .5 9 ) ,

остается

в силе,

отрицательная поперечная

нагрузка.

С в о й с т в о

7

,

В случае гибкой пластины для

под­

вижных и неподвижных

опор,

когда удовлетворяются граничные у с-

С в о й с т в о

8.

Если; а )

В (р )~ 0

или 6

(/>)> 2fd0 (p)j

(в0 (рМО) всюду, то

6}(р ) > /

0

,

когда

о>

удовлетворяет

гра­

ничным условиям для

Ц(р),

обеспечивающим справедливость

CBOftt

ства 4 ( § %.2). При атом бу (р)

4

(р)^ б )

О^ в (р)^ 2 /80 (р)}

всюду,

то

функция

о ( р ) £ 0

при

тех

же

граничных

условиях

для нее,

что

я р первом

случае.

Тогда

6 f (p)> df.(p) .

Действительно.

В случае

а ) правая часть уравнения ( I . I )

отрицательна.

Применяя поэтому свойство 4 (§ 1 ,2 ) к

( I . I ) полу­

чаем, что всюду 4\(р)>0

. Для доказательства утверждения,

что

при данных усдрриях

б £ <*Л

достаточно воспользоваться

со­

отношением (2 .4 3 )

применительно к

уравнению ( I . I )

для

ь>(р) .

откуда

следует, что

о ' ( р ) - ^ р ^

^ ^ f(p)~ ^ b(p) ^ 0 .

Вторая

чаоть

рассматриваемого

свойства

доказывается точно

так.

же.

Это

свойство

и м ^ т

место,

в

частности,

для

неподвижных

(несмещающихся) опор, а

также

для подвижных,

когда

Л/Л (/) > Q

в случае

а ) и

Nh ( f ) $ 0

для

случая

б ).

В

случае

б)

формы равновесия

оболочки лежат

внутри про­

цией

W0 (р) , я зеркальным отражением последней

о плоскости,

перпендикулярной к

оси вращения, а в первом случае

формы рав­

новесия находятся вне указанного пространства.

В самом д ел е .

Если 0^Q^2j6^l, то пользуясь ( 1 . 14) и ( I . I 5 ) ,

имеем

0 ^ w(p) & - 2 \ы0 (р) или для уравнения деформированного

меридиана у (р)

получаем

Эти неравенства

и

доказывает

последнее

утверждение в

случае

б ).

Аналогично и для случая а ) .

Состояния

в(р)~< О (в(р) > 2/в0 (p)j)

в “ случае’

жесткого

защемления или

шарнирного опирания (без

контурных

моментов)

не

могут

осуществиться, если у (р ) >/ О

(ц(р)й О),

так

как если

это

имело

бы место,

получилось

Ш ' ’противоречие-’

со

свойством

4 (§ 1 .2 )

применительно~к’" уравнению

(1 .2 )

для функции

в

(р )

То

же самое можно утверждать для состояний

О - 6 в б / 0 о /

и

во £ в -

2 / в0 /

соответственно при

у(р)& О

и

<J (р) > О ■

С в о й с т в о

9 . Если со (р) удовлетворяет

граничным

условиям,

обеспечивающим

справедливость свойства 4

(§ 1 . 2 ) ,

то

в случае,

когда

а )

в(р) ^ 0

имеет

место неравенство в(р ) >,Qnn (/>) ,

где

вп/1 (р )

- решение

той же граничной задачи при тех

же нагруз­

и при этом

'*'(р)>,

wn„ ( о ) .

б)

О £

в(р )£ 1в0 (р)1

справедливы неравенства в(р)

6

4 9 п /р )

>

" (р )^ *пл(р) ■

> в пп (р )

;

в )

/00 (р)\£ в (р)

± г 1% (р) 1 * будет

в (р )

” (/>)

0 »>.

г )

В (р) > 2 / 6 0 (р )I

имеем

в ( р ) £

в л/1 (р )

;

w (p )±

vv/w \р) .

Для доказательства этих утверждений запишем уравнение

( 3 .6 1 ) ,

которое

вытекает из

уравнений Софи

Жермен и

( 1 .2 ) .

L ( e - e „ , ) ^

f a ( e +e0) .

(3 .6 1 )

Так как

в

случае

а ) в£= О

, то

вследствие свойства В

ео > О

и поэтому

правая

часть

последнего ""уравнения

неположительна,

тогда

применяя

свойство

4

(§ 1 .2 ) к

(3 .6 1 )

получим,

что

в - Вт >

О .

Отсюда,

если

использовать

( I . I 4 ) ,

W -v/m

>у О .

Первое утверждение

данного

свойства

доказажГ.

Точно

так же

доказываются и остальные положения этого свойотва.

Неудивительно,

что

в

ряде

случаев

у

гибкой

оболочки или

плаотины прогибы меньше, чем у жесткой при тех же

нагрузках и

опорах.

Это обстоятельство

легко

объясняется

тем,

что

у жест-^

кой (линейной)

пластины отсутствуют мембранные

напряжения, а |

у гибких оболочек или пластин они имеются, которые, как

видно '

из данного свойства, могут

существенно

влиять

на

величину

про-

!

гибов

гибких объьктов.

С в о й с т в о

10.

(О возможных

формах равновесия

сфе-

1

рической

оболочки

в состояниях

нежесткости).

Условимся

н аэы -,

вать

состояниями

нежесткости нетривиальные

(деформированные)

состояния оболочки при нулевых значениях всех параметров внеш­

них нагрузок,

если

таковые,

естественно, существуют. Как

от­

мечалось

выше,

вопрос

о

нежесткости

оболочки

имеет

сущест­

венное значение, так

как если она не будет нежесткой

(нижняя

критическая

нагрузка

больше нуля),

то расчет можно вести

по

нижней критической нагрузке, что; очевидно, значительно

безо­

паснее, чем по верхней. Поэтому выяснение вопроса о

возможных

формах равновесия в состояниях нежесткости представляет

боль­

шой интерес,

тек как

зная эти формы, можно установлением спе­

циальных подкрепляющихся элементов

затруднить или даже

ликви­

дировать возможность образования указанных форм, тогда

следу­

ет ожидать,

что такая

подкрепленная

оболочка уже не

будет не­

жесткой.

В качестве модели для рассмотрения данного вопроса

возь­

мем оболочку сферического очертания.

Рассмотрим различные варианты знаков функции ы (р) в слу­

чае подвижного (без опорных нормальных усилий) и

неподвижно­

ев

берется или в

виде

жесткости защемления

или шарнирного

закрепления без контурных изгибающих моментов.

1)

Если (о(р)^-О

,

то как

было

показано

в

следствии

I

из свойства 6, оболочка

не

может

иметь

состояний

нежесткости.

2)

Пусть оо(р)4

0 . В

этом

случае

не могут

существовать ни­

какие

состояния

(в

частности,яеж есткости)у

которых

0(р)4.О

или

8 (р) > 2 1в0 (р) I, так

как при этом

будет о ( р ) > , 0

(см.

свойство 8) . Состояния

нежесткости, для которых

0.4= В (р)

4

^jQ0(p)j, также не

могут

существовать,

когда

о (р)4 О,

по сле­

в

виде

L (9 )= ~ оо(в + ва); (е0 {р>-г% р 4, 0) .

(3 ,6 2 )

В

силу

принятых условий правея

часть

(3 ,6 2 ) положительна

или

равна

нулю и поэтому

и з -за

свойства 4

(§

L .2)

получается,

что

9 (р )4

0

.

Противоречие

доказывает

невозможность

сущест­

вования

подобных

состояний

нежесткости.

Формы равновесия

типа

(в 0 1 4

в

4

2 /во !

исключаются

в случае

жесткого

защемления

и не

исключаются при шарнирном опирании-

В последнем

случае

9 (р )

- немонотонная функция. В

самом деле. При

защемленном

опирании

9 (0 = О

и поэтому

в ( 1) '/ /во1~2/$о1>0 и

подобные

формы невозможны.

Шарнирное опирание

позволяет

существова­

ние подобных форм и тогда

граничное

условие

при

р

1

дае'1