Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

С в о й с т в о 7 .

( Аналитичная

связь между

значения­

ми критических нагрузок).

Мевду верхней

R + и нижней

R~ кри­

простая

аналитическая связь

в

томслучае, когда

R -

функ­

ция единственного' параметра

р

R+ + R~= ~2£,0 .

(2 .1 4 )

Это

соотношение непооредственно

вытекает из

второго

равенства

(2 .8 )

с

учетом симметричности характеристики.

Насколько

нам

тическая

связь

между

критическими

нагрузками

оболочек.

§ 2 .3 . Методика

определения

параметра

ё,о0

симметричной

системы

При рассмотрении свойотва 6 предыдущего параграфа было по­

казано,

что существует, точное: значение

величины стрелы

началь­

ной погиби | £ 0 |= £ ,0 0 ;

превышение

которого

приводит к

появ­

лению хлопков.

Найдем эту

величину в случае

симметричных систем,

которая

представляет

для

них наименьшее

значение

|<*0 |,

когда

характеристика имеет в центре симметрии точку

перегиба

с

гори­

зонтальной касательной,

т .е »

соблюдается

соотношение

dR

( = 0 .

(3 .1 )

dt,

Со

dR

в точке

С0

С этой целью рассмотрим методику определения

где известно точное решение,

характеризуемое

<%иными

в ( р ) = - в 0(р);

к = ~ ь 0 ->

a = - v

(3 - 2 >

При этом

и (р)~ решение

уравнения

(3 .3 ) при

соответствующих

граничных условиях,

обозначенное через

cJ0 (p).

L(bJ)

= J>o_

(3 .3 )

2р

9 = - д д и

u )-W 0 , дадим

Примем за

основное

состояние

малое

приращение сГр )

параметру р

.

в

результате

этого

в и

^

получат

приращения (/б

и

(fit) .

Составим уравнение

для

сСб .

С

этой

целью

используем

уравнение

( I . I . 2 )

■L(ei + L (d e) = - m

^ ^ f p A ( p ) d p + ^ :y ^ +

+ ~ fy ~P* I (p~C)~

( в + (?в + в а ) } .

(3 .4 )

Отсюда, учитывая, что

в

- решение ( I . I . 2 ) при

отсутствии

приращений, получим искомое уравнение7

р

В (3.5) отброшен член второго порядке,

малости <5(0 ■(5вр~. Гра­

ничные условия для (5в

даны в (3 .6 )

(см . (1 .9 )

) .

cf9(o) = 0;

01<?9'(1)+р<5в(1)~0.

(3 -6 )

где

Д и в

-

произвольные константы, входящие в

общее реше­

ние

соответствующего однородного

уравнения,

представляемое-

первыми двумя

слагаемыми из ( 3 .7 ) . Остальные

слагаемые являются

частным решением. Ввиду

того , что

все

внешние

силы меняются., в

зависимости

от

одного

параметра

р ,

можно записать

для 8~<£i и

аналогично

для остальных приращений нагрузок

соотношения типа

d % - ~ S p = Cl,(p)3p.

'

(3 .8 )

<fe(p)=Ap%(p)+[о, (р)q!+ аг(р)р'+а3 (р) Pj] dp

(3 .9 )

SP= bdp.

(ЗД О )

b = [cMai <j!+a'ep'+ a'3 Р !)+ р (а ^ + a2P‘+ a3Pl)]/p=1

(З.П )

S = [(d + fi)? ,+ <£¥*,]/p=1

(3 .1 2 )

Отсюда

•

1

=J<fe(p)dp =AK+ (Af(i'+A2P'+A3P l) dp

(3 .1 3 )

1

о

1

K -fp% (p)dp',

A = fa L(p )d p ,

i = 1,2,3.

(3 .1 4 )

о

о

С другой

отороны имеем (см .

(2 .7 ) )

(fR = (d0q!+fl0 P'+fa P i+ So0 dp.

(3 .1 5 )

Подставляя

dp

из

(3 .1 0 )

в (3 .1 3 )

и

( 3 .1 5 ) , в

итоге

полу-

чим для искомой величины

соотношение

<Л ? /

u a<t+PaP>+/,Pl+Bt j ‘)a

(3-16)

(file,

(fl,lf:*A t P'+A3P,')S-bK

При 9С =» 0

получаем,

что

9 =(d + fi)y , (1) + dL<fj(t) = 0 t

(3 .1 7 )

В (3 .1 7 )

входит

параметр

£ 0

через

член из ( 3 .5 ) ,

содержащий

Ы0 ( р ) .

Уравнение

(3 .1 7 )

будучи трансцендентным

обладает

бесчисленным множеством корней.

Это очевидно из того ,

что

рас­

смотренная задача является задачей о

нахождении

собственных чи^

сел однородного уравнения (3 .5 ) при

однородных граничных усло­

виях ( 3 .6 ) . Можно показать, что существует бесконечный

спектр

этих собственных чисел и что они все положительны (в

(3 . ^ в х о ­

дят только

четные степени

£ 0 ) [ 3 б ]

.

Обозначим

через

Q- =

= S 0

т(

i = 1,2,...)

указанные

собственные числа в

порядке

во з­

растания

их величины.. Очевидно,

что

с ,

определяет величину

искомого

параметра

£ 00 .

Высшие собственные

числа

также

име­

ют ясный

физический

смысл.

Они определяют те

значения |^ 0 } ^ для

которых Э€=0

(см .

(3 .1 6 )

) . Таким образом, каждое

новое

С±.

определяет значение

| £ 0 |,

превышение которого увеличивает

чи­

сло возможных форм равновесия при одном и том же R(p) на

две

единицы, т .е .

при 1£01 <

4

00

для

каждого

R(p)

имеется

только одна форма равновесия.

Если

4 00 < 1 £ 0 1<

(где

<*0J

соответствует

числу

С2 ) ,

при каждом

R(p)

могут

существовать

уже три решения'. И т .д .

Примеры такого

типа

характеристик,где

ведены в [ 3 ] .

Т а б л и ц а

I

—---1---

№

Вид нагрузки

Тип опоры

с,

се

^00

^01

I .

q. = c@nst

Шарнирная непод­

вижная

6

38

0 ,7 4

1 ,8 6

2 .

<j,=const

Шарнирная под-

вижная

38

193

1 ,8 6

4 ,2

3.

const

Защемление

неподвижное

20

67

1 ,3 5

2 ,4 7

4 .

у - conet

Защемление

:подвижное

55

192

2 ,2 4

4 ,1 9

5 .

Распределен-

Шарнирная не-

ные моменты

Подвижная

6

34

0 ,6 9

1 ,7 7

по контуру

(чистый изгиб)

6 .

"

Шарнирная под-

‘

.вижная

40

210

1 ,9 2

4 ,4

В табл.. I приводится сводка некоторых конкретных

данных

по первым двум указанным собственным

числам, полученных

на

о с ­

новании

численного

решения уравнения

типа ( 3 .1 7 ) , гд е было в зя ­

то

~

Т000

членов.

/Ц = 0 , 3 ,

Алгоритм решения и эти резуль­

таты

впервые

были опубликованы

в [ 2 б ] .

Первые

две строки данной

таблицы

получены .для