Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

имеется, не

нарушается с изменением характера

нагружения

(при

обязательном присутствии в данном случае

R -~ £ 0 ) .'Т а к напри­

мер, в случае шарнирно-опертого

сферичеокого купола,

сила R

пропорциональна контурному моменту

М . Если действует

М =

= - 2%0 ( 1+{1), то при

произвольной

поперечной нагрузке(да­

же неосеоимметричной) этот купол нежесткий.

(Более

детальное

изучение свойства нежесткости проведено в главе 4 ) .

Подчерк-"

нем при этом,

что указанное

свойство

справедливо

при

любой

стреле

начальной погиби |^0 | >

£ 00

(см .

§ 2 . 3 ) .

В

силу

не­

прерывности очевидно,

что

при М

,' ~близкому- ' к

эначейию

-2 ^ 0 (f+M),

сферическая

оболочка,

а

также

оболочки других

форм,

у которых

в0 ( О близко

к

значению ~240

» как

У

сфе­

рического купола, также будет нежесткой в указанных

условиях.

Приведенное свойство

при действии

R - - %0

схоже с

поведе­

нием фермы Мнэеса,

рассмотренной в

следующем параграфе.

Другим свойством рассматриваемого

пучка

характеристик

является следующее. Если при каком-то

R~ R-,

имеются

или не

имеются хлопки,

то

тоже

самое,

можно

утверждать

и для

случая

Очевидно,

что

и другие

свойства

деформационного

портрет

т а ,

рассмотренного

в

§ 2 .4 ,

соответствующим

образом

могут

быть

перенесены

и на

плоскость

(

4

,

R

) .

Совершенно

очевидно,

что

то

же

самое имеет

место и

для

‘ любой плоскости

(

к,} 9& ) , где

Эв -

параметр

любой попереч­

ной нагрузки.

§ 2 .7 .

Симметризация характеристики

любой

нелинейной осесимметричной оболочки при

ее рассмотрении в первом приближении.

Некоторые примеры симметричных систем.

Метод Бубнова-Галеркина в первом приближении или

Другие

методы первого приближения, когда приближенное решение

для

Q (р ) представляется в виде ( 7 .1 ) , где

неизвестный про­

гиб в центре оболочки, a

fC fi)- соответственно

выбранная

функ­

ция,

приводят

к

характеристике;

уравнение

которой

представлено

в форме ( 7 .2 )

(см .

например,

C l,

2 ,

26 ]

)

( 7 .1 )

S=d1b + dt k*+d3b t b 0+ d 4 ti b%.

( 7 .2 )

Здесь

$

- линейная комбинация ( 7 ,3 ) параметров внешних попе­

речных нагрузок

S=a^ + агР+ а3Р^ а4 м.

(7 .3 )

Конотанты

dL и dj

зависят от параметров задачи,

вида функции

f(p) и используемого метода приближенного решения.

Кривая (7 .2 )

S ( 4 ) - кубическая парабола,

кососиммет­

ричная,

с

центром

симметрии, определяемой следующими координа­

тами :

(7 .4 )

Если

при этом

/

выбрана так , чтобы

f ( p ) = . ^ E l ^

(7 .5 )

существуют приближенные решения в

виде

выпрямленной и выворо­

ченной оболочки. Это характерно для

симметричных

систем.

Таким образом* первое приближение всегда

оимметризует

любую систему

независимо

от того ,

симметрична ли она в дей­

ствительности

или н ет. Поэтому подобная

симметризация

может

дать существенное, качественное

искажение действительных свойств

системы. Так

например,

в случае

защемленного

сферичеокого

некоторого 13;0 1 )

характеристику [ I ]

,

Нежесткой

эта

оболоч­

ка

в данных условиях " ’также

не бывает.

Вот

почему

утвержде­

ние

о симметричности системы на основании

первого

приближения

не

может быть

состоятельным.

Первая

известная нам

работа,

где

были строго

установлены

свойства

симметрии для

одного

частного случая (чистого изгиба пологого

сферического

купола),

имеется в сборнике

[ ’37] . Теорема симметрии в общем случае по-

и последующих параграфах, впервые

были изложены

в [ 2 6 J .

Даль*-

нейшие

обобщения теории

симметрии

на непологие

оболочки

даны

в [3 8 ,

3 9 ] , а.такж е в

[4 0 ] . Свойства симметричных

пучков

ней трехшарнирной арки Мизеса под действием вертикальной

силы

Р * . Пунктирными линиями изображено

какое-то промежуточное(де­

формированное) состояние фермы. Уравнение характеристик

этой

системы

имеет

вид

( 7 .6 )

( с м ,г например,

[4 1 ]) :

(7 .6 )

P~V(f+£ ) V + ( i ' - i ) 4

Здесь введены

безразмерные величины:

2EF '

^o~~q'~ c^9c^o>

■

F

— площадь

поперечного сечения

стержней.

Легко показать, что (7 .6 ) описывает коеосимметричнуто

кри­

вую с центром

симметрии в точке с координатами

4~^>о

*

р ~@ >

где

ферма выпрямляется.

Когда 4

0

р ~0 ,

имеет

место

полный зеркальный выворотфермы. Эта симметричная система

в с е г ­

да

нежесткая.

Нежесткость может

быть

устранена,

если силу

пере­

давать на центральный

шарнир посредством достаточно

жесткой

пружины

[4 1 ]

, при этом симметричность системы сохраняется.

Такие

же

свойства

имеются

и

у

пространственной

фермы

Мизеса из

трех

стержней, образующих правильную пирамиду

[ 4 1 ] .

Очевидно, что

качественная

картина поведения системы неизме­

нится, если число стержней,

составляющих правильную пирамиду,

будет

больше

трех.

Пологая

двухшарнирная арка, очерченная по дуге

полувол­

ны синусоиды и нагруженная

поперечной нагрузкой, меняющейся по

такому же закону, - так же^

симметричная система.

Все куполообразные оболочки,у которых во(р) определяются

соотношениями

(1 .8 ) и ( I .I D ) ,

являются симметричными

систе­

мами.

Конкретные примеры приведены в [ 2 6 ] .

§ 2 .8 .

Распространение теоремы

симметрии на

динамические

осесимметричные деформации

пологих геометрически нелинейных оболочек-

ют вид ( I . 6 . I ) и

( 1 .6 . 2 ) . Если ввести

определение

пары симмет­

ричных состояний

в данный момент

Г

по формуле-

W, ( p , i )

+ Wz (p,t)

W 0(ft),

(8.1)

IV, (р,0)+ Wz (р, 0) = ~2W0 (р),

,

(8. 2)

9W1(р,0) .

dWz (p,0) „

~

н — +

— Tz---------

Тогда теорему

симметрии в

случае динамики можно интерпретиро­

вать следующим образом. Если

б о (р )

имеет

вид

(1 ,8 )

при гра­

ничных условиях (I ..I0 )

и начальные

условия подчиняются со­

отношениям ( 8 .2 ) , а граничные условия

не противоречат

( 8 .1 ) ,

граничные условия для с*7,

и

ojz

одинаковы,

то решения

IV, и

W2

в любой момент времени

связаны

равенством (8 .1 )

со

всеми

вытекающими из него следствиями. При этом параметры

нагрузок,

порождающие эти состояния, зависящие

в общем случае

от

време­

ни,

связаны соотношением

( I . I 2 ) . Очевидно,

что

все

следствия,

доказанные

выше для

статики,

не относящиеся непосредствен­

но к свойствам характеристик,

остаются в силе' и зд есь .

Для рас­

смотрения

свойств

характеристик надо решить вопрос о

том, что

Зак .188