Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

Это обобщение позволяет строить так

называемый

"деформаци-

онный

портрет”

данной оболочки,

дающий большой объем

инфор­

мации о поведении данной оболочки

в различных условиях. Рас­

смотрим методику построения деформационного портрета.

Пусть,

для примера,

на

рассматриваемую оболочку действуют

нагрузки,

входящие в состав обобщенной силы R

,

что

соответствует

т е -

ореме

симметрии и еще,

кроме того ,

нагрузка

ЧЦ>(f i ),

что

уже

нарушает

симметричность данной

системы.

Деформационный

порт-,

рет

строится

на плоскости.

( 4 , R )

следующим образом.

На

эту

плоскость

наносится

серия характеристик.

Каждая

такая

кри­

вая

изображает

зависимость

R(p)

от

£

(

р,~

параметр,

введенный при формулировке

следствия

I

из свойства 3

(см .§

2.2)),

когда на оболочку дополнительно к R (p )

действует,

например,

еще

нагрузка

ЦФ (р ) с фиксированным

значением

/£=

^ (1

Меняя

значение

параметра

Ц

, получим на плоскости

(

R

)

ука­

занную

серию

характеристик, которая

и есть

деформационный

портрет данной оболочки для данного внешнего нагружения.

Любая

из этих характеристик (за исключением той, для которой

)

уже

не

есть

сама по

себе симметричная

относительно

центра

сим­

метрии

Ср кривая.

Однако характеристики при

I? -

и

будут взаимно симметричными относительно

С0,

как

это

сле­

дует из обобщенной теоремы симметрии. Таким образом,

деформа­

ционный портрет

состоит

из

пар

взаимосимметричных характерно'

тик

с центром симметрии

Со . Каждая

из

них сама ;По"сёбё'не’

есть

симметричная кривая и не проходит через

С0

,

за

исключением

одной,

соответствующей

= 0 .

Портрет удобно строить для случая шарнирного опирания кра­

ев

оболочки,

так как

при этом он н есет,

как

будет

показано

ни­

же, наибольший объем информации. Граничные условия по

Сл)

мо­

гут быть любыми, но фиксированные для всех точек этого

порт­

рета.

Рассмотрим информацию,

которую

содержит портрет.

Каждая

делку. Геометрическое

место точ® портрета,

лежащих, на

одной

прямой,

параллельной

оси £ ,

представляет

случай*

когда R(p)~

= Const

, а

Ц

принимает

различные

значения.

В

частно­

сти, если эта

прямая

совпадает

с осью %

,

то получим решение

заданных граничных

условиях

для

СО(р) , находящейся под воз­

действием нагрузок

R (р ) и

цЧ>(р) при любых граничных

усло­

виях для 6 (р ) . Меняя зависимость

R

от

р

,

можно

полу­

чить и решения при произвольных

сочетаниях внешних

нагрузок,

образующих обобщенную силу R .

Обобщенная теорема симметрии и деформационный портрет поз­

воляют также сделать ряд качественных

выводов.

Так>

например,

если характеристика

при данном

R1

имеет

экстремальные

точ­

ки ( т . е . в этих условиях

возможны хлопки),

то

такого

же-

типа

экстремумы

будут

и при

.. При этом максимум

при

^

.

симметричен с

минимумом при

^ =

наоборот.

Поэтому

связь

между верхней

(при

=

.)...и нижней

(при

) критически­

ми нагрузками или наоборот остается в таком же видеь.....

(2 .1 4 ),

Если же при ty-ty

нет хлопков,

то

их.Г " не

будет

ишри.

1

~

-------1

В качестве конкретного примера деформационного

портрета

рассмотрим купол, очерченный по

сферической поверхности,

шар­

нирно опертый, деформирующейся

под действием

контурного

мо­

мента Mr (t)~M

и равномерно

распределенного

давления

о.

интенсивностью ф(р)= у - const. При действии

одного

только М .

( т . е . при

<£ =

0

)

сферический сегмент

с шарнирным отиранием - J

симметричная

систем а,в чем легко

убедиться.

Поэтому

деформа­

ционный портрет в этом случае, строится на плоскости

(kt) М)

и

каждая характеристика соответствует какому-то

фиксированному

значению

Cj,

На рис. 6 показана часть такого деформационного

портрета

для случая

k0- ~ 4

и шарнир

подвижный [з]

..

На этом

ри -;

При других q ,< 0

характеристики уже не приведены,

так

как

они симметричны с

соответствующими характеристиками

п р я ^ ^ 0

-

Деформационный портрет не обязательно связан с понятием

сим

-

Натрии и его можно

отроить на

любой

плоскости.

Однако

построение

его на

плоскости.. (

4 , Я )

представляет боль­

шие удобства потому, что при этом мож­

вторая половина строится по

симмет- :

рии. Кроме того , использование

плос­

кости (

й ) позволяет,

как

э т о ’

было показано выше, получить ряд

ка­

чественных

следствий, что

не

менее

( если не более ) важно,,

чем конкрет­

ные численные результаты.

ения деформационного

портрета

на плоскости (

R

) , где

обо­

лочка -

симметричная система.

Поэтому представляет

интерео

сле­

дующая обратная

задача.

Дана произвольная по начальной форме оболочка,

т .е .за д а н а

функция. во(р). Нужно подобрать внешнюю поперечную

нагрузку,

параметры которой входят в обобщенную силу

R

для

того,чтобы

данная в0 (р) удовлетворяла;, уравнению ( 1 .6 ) . Тогда

можно будет

использовать теорему симметрии со всеми вытекающими из нее

след­

ствиями.

В0(р) ,

Рассмотрим поставленную

обратную задачу

для

допу­

скающую представление

в виде ряда

+

( 5 .1 )

;(Напомним, что. до (р)

должна быть в виду осесимметричности

обо­

лочки нечетной

функцией

р

на интервале -1 ^

).

В

таком случае в

R

, как это вытекает

из

общего решения

( 1 ,8 ) ,

не могут входить сосредоточенные нагрузки. Поэтому будем

искать решение этой задачи подбором соответствующей

функции

Л(р),

определяющей характер

поперечной распределенной

наг­

рузки. С этой целью

подставим в 0 (р ) в виде ( 5 .1 ) в

( 1 .8 ) ,

представим А (р)

в форма (5 .2 ) и сравним коэффициенты

при

Таким образом,

введя

некоторую фиктивную нагрузку

по

закону

(5 .

2 )

и ( 5 .3 ) ,

можем на базе этой

нагрузки ввести

плоокость

( 4

, /?

) и строить

симметричный

деформационный портрет для

интересующей нас нагрузки.

Рассмотренная обратная задача имеет решение только

тогда,

когда интегралы из правой чаоти

(1 ,8 )

существуют. В противном'

случае

решения данной обратной

задачи нет. Примером может

слу­

жить коничеокая оболочка, для которой

в0(р ) = COfl$it В

этом

случае

обобщенная сила

R

не

существует и для такой оболочки

невозможно строить

симметричный деформационный портрет.

§ 2 .6 ..

Плоскость ( 4 , 7

)

и некоторые

ее

свойства, обусловленные

симметрией

В предыдущих параграфах рассматривалась

плоокость

( %7R )?

на ней

строился

симметричный деформационный портрет, где. каж­

дая характеристика соответствовала какому-то

фиксированному

значению параметра

дополнительной к

R

поперечной нагруз­

ки.

Сейчас рассмотрим плоскость

(

4 ,

Ц

) .

где

каждая харак­

теристика строится

при фиксированном значении R

. Тогда

на.

этой

плоскости

существует

центр

симметрии о координатами ^ = - £ dJ

. Это утверждение следует из того , что.состояния оболоч­

ки, определяемые, параметрами.

q t

и

Rz -~2%0~ У г ~ ~ * ? г .

взаимно симметричны и при этом

4 , * 4 *

, Поэтому

указан -

'

нал рыше серия характеристик состоит из

пар

взаимносимметрич­

ных кривых относительно центра

К ( - £ О}0),

для которых

/?,

и.

. Rb

связаны соотношением ( 2 .8 ) ;

В

частности,

характеристика,

соответствующая

R - - £ 0 ,

будет

сама

кососимметрична

относи­

тельно

центра

К .

Так

как точка

К

при этом

находится

на

оси

4

» го нижняя критическая

сила

отрицательна,

т .е .

добав-