Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

Уравнения равновеоия для элемента деформированной оболоч­

ки (р и о .8) могут быть записаны в форме

( I . I )

и (1 .2 ) [4 2 ] . Отме^

тим,

что эти

уравнения имеютоя и в [4 3 ]

хотя

там рассматрива­

ются

только

линейные задачи.

этих сечениях^

. Мд -

нормальное

усилие и изгибающий

момент в меридианальных сечениях.

pv ,

Рн - составляющие внеш­

них распределенных

нагрузок;

<Р-

угол между элемент см оболочки и

горизонтальной ооыв

^ ;

г - расстояние элемента до

оси

враще­

ния

оболочки

z

. Производные

берутся

по

параметру

4 ,

меняю­

щемуся вдоль

меридиана;

ос -

параметр Лямэ,

определяемый

из

соотношения ds=ocd£ f где

d s

-

длина дуги элемента

меридиа­

на.

Вое

эти

величины

относятся

к

деформированному

соотояниго

оболочки

и изображены на рио.

8 .

Соответствующие

величины для

яедеформированного

(начального)

соотояния снабжены индекоом "О".,

:

Приведем ряд других соотношений,

необходимых в

дальнейшем:

:

N^=H cos Ф + Vsin Ф ;

Q =

-H sin Ф + V cos Ф7 ( 1 .3 )

п'—сСcos ^Ф

т' —о( sin Ф ;

ос

о

2- 2 .

(1 .4 )

=

п' + zr .

Z

- вертикальная координата

точки пооле

деформации.

d s0=o(0d $

;

ос =ro<0 (1 + Ef) ;

г = г0 + и

;

(1 .5 )

cos Ф0

)

ф '

Ф'о

(1.6)

cos Ф

(н

,

1

^

;

sin Ф

л

^

sin Ф0

(1.7)

г

>

W = J (ы Sin Ф -ос0 sin Фв )

,

(1 .8 )

где

,

ед -

относительные

удлинения в меридиальном и широт­

ном направления;

и f W -

горизонтальное

и вертикальное

пере­

мещение;

к£

,

кд -

приращение кривизны вследствие

деформации

меридиана и параллели. Вое эти

величины -

функции аргумента

4 •

Начальная форма

оболочки

может быть

определена

функцией

zo = f ( r 0) .

Выбор параметра

^

фактически

произволен

и

меры такого рода будут приведены ниже. Из геометрических

соот­

ношений

(1 .6 )

следует

уравнение

неразрывности

(r0 eg)'cos Фд -г'0

cos Ф= г ‘о (cos Ф-cos Ф0) .

(1.9)

В [42]

с целью введения функции напряжений и

сведения

рас­

сматриваемой

задачи к

двум

разрешающим

уравнениям

(содержа­

щим только угол

Ф

и указанную функцию

напряжений)

прини­

мается следующее существенное упрощение. В уравнениях.

( T .I )

и

(1 .2 )

с*

и

л

всюду

заменяются

на

<х0

и

с0

,что

равно­

сильно

пренебрежениям

€S,

и

£О

по

сравнению

с

единицей

щениях рассматриваемой

задачи, когда материал оледует

закону

Гука

[ 3 9 ,

4 0 ] .

Разрешающими функциями являются

перемещение

и (£ )

и угол Ф (£ ) . Эти

разрешающие уравнения ( 1 .1 0 )

и ( I .I I)

получаются из Ц .1 ) и ( 1 .2 ) ,

если в

последних

заменить

все вхо-“

дящие

туда

величины через

и

и

Ф

пооле исключения

Q

Уравнение

совместности

( 1 .9 )

при

этом

удовлетворится

автома­

тически, так как задача

решается в

перемещениях.

Го+и

„

+(г0 + и ) [ ±

(2ФЧдФ * ( ) Н 2 д - 1 ) СОвФ

о(п

u" + u 'f(1 -p ) £

Г0

J'{Pv StnCt>-hPHCO$<P)] +2(1-tL)cos<P0J

-*ygu

\jn cos ф *

*(ф tg Ф +

J + ( p

~1)S&-C0scp

+ (2 ф 'Ц Ф + -^ у со зФ - ш Ф )-

-Ф'0ШФ0 ^ф'эипф

(PvsCn0 +Рн сояФ) J +

.

*

+u')

.

1 Ф f <ro +U)(r

+ T J

—

Ш Ф ----------- W

+ r o

( f - Р ) ( Ш

Ф С - C O S 0 )

+

0

1Kt~o+u)о г и /

ff

f С O S 0&

( f

.

и

т ^ р - с о зф - ф + < p —

- { j , ( r + U) + J ) ( r ' + u ‘)

0

u r О

(г0 +и) ■*■]>(гЙ

- А

sincp

А

SinW0 \

~Г0 +и

~ ) '

-г*

+D(rQ+u)

(

rtcc'-v£<xn

(u+r'0 ) sln<P-

-A

~ l r o * - U ) *

Ф а C O S 0 o

simp

- A

ry+u

&1пФа _

a £

\ _

(r0 -hu)(t^ u')

ro

<*0

j

c o s е Ф

A -Top,-COSCp j

r0+u

J

Фр+иН^+и')

Py d 4

= 0*

( I . I I )

с о з Ф

По

той же методике были

"получены

такие

же уравнения

с

добавочны­

ми членами,

учитывающие влияние

температурного

поля и

сосре­

доточенных

нагрузок

[4 7 J .

Для

получения

( 1 .1 0 )

и (I . I I )

иопользовалиоь

следующие

известные

соотношения упругооти:

-< *"9

;

(1Д2)

М ^ 2 (к ^ + р к в ) ;

Мв ~ Р (к 0

(1 .3 3 )

а

также

выражение

( I . I 4 ) , вытекающее

из

( I . I )

t a

) v

„

.

(1 Л 4 )

0

Jо

••

с о з Ф

Пользуясь соотношениями ( 1 .6 ) ,

(1 .7 )

и

( I . I 2 ) ,

легко

найти за­

висимость

и

А/д от и

и

Ф

,

после чего,

имея

выраже­

ние ( I .1 4 ) ,

для

V

находим по формулам

(1 .3 )

зависимость//

и

Q

от

и и

Ф .

Аналогично

находятся

зависимости моментов

от разрешающих функций.

С

Запишем граничные на каком-то

крае