Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

Возможность

подобного типа

потери

устойчивости

была

строго

обоснована для пластинок в

[ 9 ] .

Эта же задача

для

пластины

решена в первом приближении в [ ю

]

.

Для оболочек

указанное

явление в

первом приближении рассмотрено в

[ I I ] .

Более точ­

ные,,

чем в

[ 1Г],численные решенш?

этой

задачи

для оболочек име­

ются

в Г12 -

16] и др.

изойдет. Этого можно

. добиться, в

частности,

за счет

прило­

жения соответствующих растягивающих краевых нормальных

усилий

Np (1). Тогда краевое условие будет

и(1) = Nr (I)>0

и при

до­

статочно большом Nh(i) функция

(р)

будет

монотонно

воз­

растающей и положительной.

Поэтому

<*$>

будет

также всюду

по­

ложительным. Ниже будет показано,

что

это действительно

осу­

ществимо (см . свойство

З .з

в случае

пластин

и

свойство

5

для оболочек).

С в о й с т в о

3 .

Основные

черты деформаций

гибких

пластин:

а ) В любом случае

деформации пластин под действием

про­

ловиях

при р = I

напряжение

б"Л (уз) = ^jp

- монотонно

убы­

вающая

функция и

69(р)^

(р)

(d?(p) = <о'(р)) .

Действительно.

Уравнение

( I . I )

принимает

для пластин

вид

L(u)) = -

гр

(3 .1 )

в 2

Тогда указанное свойство сразу получится, если применить

свой­

ства 8 а,, б

(§

I ,

2) к

( 3 .1 ) ,

учитывая

при

этом,

что

в

данном

случае

f(p)^ 0

и у?(

= 1 .

Отсюда

вытекает

важное для

при­

ложений неравенство

6„(р) * d r (0)- o ' (0)

;

(3 .2 )

б)

если

х = с(+р

7

и

(см*

( 2 .3 ) ) ,

то <о(р)>0

независимо от характера внешних нагрузок

и

граничных

условий

для в(р). Это утверждение

- следствие

свойства 4

(§

1 .2 ) при­

менительно. к

( 3 .1 ) .

Указанное свойство справедливо, в частности, дня случая не­

подвижной опоры ( и (l) - (Цсо(1,

= 0

) , а

также

для

подвижной

(ы (1) -

N)

,

где контурное

усилие N г- 0 .

в )

Если в

случав подвижной опоры

N * O^rocj(p) 4 0 ,

буду­

чи монотонно убывающей функцией7или oj(p) -

знакопеременная.В

последнем

случае cj(p)

может

иметь

только

два

интервала

эна-

копостоянства.

На первом из них, примыкающим к

точке

р =

О

,

будет

u)(p)>,0

, а на втором, примыкающем

к

р=

/

,

ы (р ) бу­

дет монотонно убывающей отрицательной функцией.

В самом деле, так как

(J (1) =

0 , w ы (р)

может

быть

или всюду отрицательной или знакопеременной.

На участке,

где

со(р) 4 0 ,

она должна быть монотонно убывающей функцией

сог­

ласно

свойству

9 (§ 1 . 2 ) .

При этом

надо иметь

в

виду,

что

в

левой граничной точке интервала, где cj(p)

4 0,

эта

функция

принимает нулевое значение. Отсюда, следует

указанное

в

дан­

ном пункте

свойство.

(jfpko

Совершенно

очевидно,

с

физической

точки

зрения,

что

будет

при достаточно больших /N /

, так как

при

N = 0

имеем

со(р)>,0

-

г )

Каждому решению уравнений ( I . I )

и

( 1 .2 )

для пластин при

данных граничных условиях,

которое

порождается

системой

попе­

речных нагрузок

f a

у Рf

, P/t J

и обозначено

&)f(p)

a

S f /p)

,

соответствует другое решение этих же уравнений

а г ( р)

и вг (р) ,

связанное с первым следующим образом:

(Ог (р)= <Pf(p)

;

вг (р) = - 9 г (р)

;

(3 .3 )

При этом граничные условия для обеих

cj1

(р)

совпадают,

а

для

вг ( р )

получаются

из

условий для

в 1

(р )

о учетом

со­

отношения ( 3 .3 ) . Второе решение порождается

совокупностью

по­

перечных

сил

( у £ , Pz,

PfgJ

> удовлетворяющих

’

Ps - 'P f! P * = - Pu

*

( 3* 4 )

Здесь

под

Pi

поя

йются

сосредоточенные

силы,

приложенные

в

полюсе

оболочки,

P,i

-

это силы, приложенные в

какой-то

точ­

ке

р -

с

О,

и для

обеих таких, сил

их

точки

приложения

со в ­

падают.

Доказательство этого положения вытекает из уравнения

(1 ,2 )

для пластины, принимающего вид

L(Qh~m ар

P 4 (p )dp * j > +- f l ( p

- ^

~

y

G }

*

(3 .5 )

о

Данное свойство, совершенно прозрачное с

физической точки

зрения, позволяет ограничиться исследованием деформаций

пла­

стинок под действием поперечных нагрузок только одного

знака.

д) В случае, когда

со(р)>о

, контур

пластины

защемлен

или шарнирно оперт,

контурный момент

М>0

и все

поперечные

нагрузки положительны или равны нулю,

Q(p)>,0

и

прогибы

w (р)ъО. При этом

в ( р )4

9пл(р ) > где

9г* (Р)

~ Решение

той

жеграничной задачи для жесткой круглой пластины,

деформация

которой описывается уравнением С.Жермен при тех же

нагрузках,

что и для гибкой пластины.

что д ( р ) 4

0 ,

Действительно, если предположить,

правая

часть уравнения (3 .5 ) будет

отрицательная

и тогда

применение

свойства 4 (§ 1 .2 ) к этому уравнению дает д(р)>,0 •

Получено

противоречие.

Предположим,

что 9(р) -

знакопеременная.На

уча­

стке ,

где

в ( р ) ^ 0 ,

она

должна

быть

монотонной

убывающей

Функцией в

соответствие

со

свойством 9 (§ 1 , 2 ) . Следовательно,

участок,где б (р )й

q

может

примыкать только к

точке

, но

и это

приводит к противоречию,так как из граничного условия

e4i) + tt9(D = м

( з .б )

следует, что

в'(1)>0

.

Поэтому

9(р)

не

может

быть

моно­

тонной убывающей функцией на указанном

участке.

Получено

про­

тиворечие

и таким образом свойство

доказано.

Свойство функции W (р)

следует

непосредственно

из

( I .I 5 ) ,

если

положить

там

w0(p)^

0

и учесть,

что

w (1) = 0 •

Очевидно, что справедливо следующее уравнение, вытекающее

нэ< (3,5.) и уравнение С.Жермен.:

L(9-9p/t) = f t

и в .

Применяя к

нему свойство 4

(§ 1 . 2 ) , получим, что

& ^ ®пп '

Учитывая свойство З .г ,

можно утверждать, что

9^

0 ;

w iQ

и 9 ^ Qnfl

t

когда

все поперечные

нагрузки

и

М •

отрицательны.

е) В случае, когда oj(p)>0

,

если все поперечные нагруз­

ки положительны и

М< 0

,

могут

иметь

место

следующие варианты

для функции В (р ) :

р

I )

6(р)ё0

и она должна быть

монотонно

убывающей функци

согласно

свойству 9 (§ I

2 ) .

Поэтому

из

условия(З.б)

сле­

дует

неравенство

( 3 . 7 )

2) 6(p)z 0

и при этом

Q(p)

должна быть

знакопеременной

функцией

р

,

так как в

противном

случае О

была бы

моно­

тонной,

что

не

может быть, так как

из- (3 .6 )

следует,

чтов&М0У

а это противоречит монотонности

в .

такой же характер,

как и знакопеременная

из

свойства

Зв.

При этом

в

,

очевидно,

удовлетворяет неравенству

( 3 .7 ) .

Заменой

знака

у в

получим ее

свойства

для

случая,

когда

все поперечные силы отрицательны, а

М>0 .

когда со(р)ьО.

В последних двух свойствах изучались случаи,

Точно так

же

проводятся

исследования и для &>(р)^ О или

знако­

переменной.

ы(р)>,0 , то в случае действия любых

ж)

Если

поперечных

нагрузок

и контурного момента

М ,

имеющие все

один

и тот

же

знак или равные нулю , то краевая задача, описывающая

деформа­

цию пластин,имеет одно единственное решение, т . е . не существуют

две (и более)

формы равновесия

у пластины при

заданных нагруз­

ках. Потеря устойчивости в большом по осеоимметричным

формам

тогда невозможна.

Доказательство

будем

вести от

противного, предполагая,что

имеются по крайней

мере

два

решения

0 ,, cj, и

вг ,о)г .

Рассмот­

рим при этом все возможные варианты,

используя

еле,дующие

урав­

нения,очевидно, вытекающие из ( 3 .1 ) и ( 3 .5 ) :

L(oir

o>t) - ± [ e * - e l ] .

(3 .8 )

L(8r

ez) = Z-[u>,e, - и г 92] .

(3 .9 )

Граничные

условия:

Ч 0 )-<ы г Г/)= 0

или ы}(1) ~ Ч П ) - { 1[ ч ( 1)-Ч(О]=ОЛЗЛ0 )

в,({) ~02(1) = 0

или

e/fj-etO j+fufiJl) ~ 9г (1)]-0 .

( 3 .I I )

I) Пусть

6t(p) 1 вг (р)*0 и

в7(р)-вгр » 0 .

Тогда

правая

часть ( о .8)

.будет отрицательна

и в соответствии со

свойством

4