Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 102
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
- |
т |
- |
|
|
|
|
|
Слагаемое |
|
|
, |
ооотЕетотвущее |
(12.10), имеит |
вид |
(12.6) |
|||||
Так как |
х |
с |
В |
Х 0 Д |
И 1 |
«олысо в зто |
слагаемое, |
то |
требование |
|||
ввположительнооти |
|
вариации |
функционала £ на допусти шве |
вариа |
||||||||
циях |
|
приводит |
к |
тому, |
что Е слагаемом |
|
|
|
||||
иножители |
i//- |
^ |
0, |
причви они отрого ивньшв нуля, |
когда |
|||||||
/7= 0. |
Вое чжвванное.еотеотвенно, |
следует из |
теоремы |
|
||||||||
Куна-Таккера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким |
образом, |
мы выполнили два первых пункта |
намеченной |
|||||||||
выше программы, получив слагаемые в функции X? , соответствую- |
||||||||||||
циеканоничеокой |
форме |
овяэи (12.7), |
и ограничеклч |
(12.12). |
||||||||
12.2.Приведение различных видов овяэей к каноничеокой
форме ' а) Рекуррентное соотношение
4 |
-i,Z....n |
иожно перепиоать |
|
п. |
- *<ш-<> |
за)-71 [KwftW) |
|
|
(12.14) |
|
j - 1 . 2, .. - п. |
Подставим в формулу (12.7) вместо c£C^<.',t^lj) выражение,
Hi.
стоящее в квадратных скобках в (12.14), получим п.
Раскроем* скобки и о учетом овояотв §>- функции (12 . II) пере пишем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.15) |
Здесь |
можно считать, |
что |
I |
меняется |
от нуля |
до П , при |
||||
|
|
«Уп+1 ~ |
0 |
|
|
|
|
|
(12.16) |
|
Именно |
выражение |
(12.15) |
с условием |
(12.16) |
и |
использовано |
||||
в предыдущем |
параграфе. |
|
|
|
|
|
|
|
||
б) Связи между составляющими решения |
|
при фиксированном ^"^о |
||||||||
y^,UioJo |
|
) |
= С |
|
|
|
|
Я2.17) |
||
эквивалентны |
равенотщу |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
с = ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда слагаемое |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-С£ |
1 |
v |
4 ^ > ^ J ^ |
<JV |
|
|
|
(12.18) |
||
Действительно, |
^//t - |
= 0 гля |
Есех t |
, |
кроме |
t = ^0 |
||||
в) Связь между составляющими решения для всех значении аргумента
-°
j = с, I , 2 , . . . а
В канонической форке
( 1 2 Л 9 )
<Г о , 1 , . . . а.
№
По формуле(12.7) соответствующее этой овяэи слагаемое
г) Общая форма рекуррентного соотношения
п.
^ |
= Z £ |
^ J ) |
(12.21; |
может быть записана,как
I .
соответствующее слагаемое
(12.22)
<* = <>
д) Изопериметрическое условие
п.
Условие (12.23) определяет среднее значение функции,/ . Такие условия возникают, когда задан общий расход сырья или энергии на всех стадиях процесса. Они же имеют место в зада чах о максимальной площади некоторой фигуры при заданном пери метре этой фигуры (отсюда термин - изопериметрическое). Выра
жение (12.23) отличается от |
( I 2 . I ) тем, что функция |
J не |
|||
зависит |
от j |
. Слагаемое |
Qtg можно получить из |
(12.7), |
|
обозначив |
через |
J |
сумму jl |
•: |
|
(12.24)
т
На этих примерах яоен переход от конкретной формы задания
овязи |
к |
соответствующему |
|
этой |
форме |
слагаемому |
. Множество |
|||||
оравневия L4 , |
как и в |
общей |
ведаче |
нелинейного |
программиро |
|||||||
вания, |
|
определяется'как |
пересечение |
множества |
допустимых |
реше |
||||||
н н а я |
о множеством, включающим |
|
подозреваемое |
решение, |
и |
таким, |
||||||
что вое |
функции, |
входящие |
в Q |
, могут быть на |
нём линеари |
|||||||
зованы. Удобно подученные |
соответствия свести |
в |
таблицу. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
12 . I |
|||
п . п . |
|
Связь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I . |
|
|
|
4*0,1,-* |
|
|
|
|
|
|
||
|
JTO |
' |
|
|
|
|
|
|
||||
2. Л |
« / 6 ( i H . M i - . , * " ' ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t«en,...n.
5.
4*0
6.
Для условий в форме неравенств можно использовать таб лицу 12,1, о учетом ограничений на множители^ . Эта таблица позволяет составить функционал fS> , а значит, записать у с ловия оптимальности, организовать процесс поиска условного оптимума I или оедловой точки функционала /S для широкого
круга задач.
12.3. Примеры использования табл. 12 . I . а) Неявная форма рекуррентного соотношения
|
S-Uc, |
ut-,A->}-')я |
0 |
« 2 . 2 5 ) |
|
|
|
|
|
i= i.z,...,« |
|
Введем дополнительную |
переменную |
|
|||
|
» ^С |
|
.4- 1,2,..,п (12.26) |
||
Тогда связь (12.25) эквивалентна двум связям: рекуррентному |
|||||
соотношению |
(12.26) |
и связи |
|
|
|
|
|
О |
= 0 |
|
(12.27) |
|
|
|
|
г= о , 1 , . . . п - | |
|
Пусть целеьая функция имеет вид (12.2),составим функцию Q. , |
|||||
Здесь |
соответствуют связи |
(12.26), a Jty{ - |
(12.27). |
||
Необходимые |
условия |
оптимальности |
при U £ V^. |
У(о)~^х> |
|
б) Рассмотрим |
задачу с функционалом (12.2), связью (12.13) |
|
•л условием типа |
(12.17). Пользуясь табл. |
12.1, составим фун |
кцию |
|
|
•Ъ
т
Необходимые условия оптимальности для всех i, |
кроив i » JB t |
будут совпадать о условиями дискретного принципа |
максимума |
( п . I I . 2 ) |
|
Э
з частности ,J0 |
монет |
быть равным |
/?_. , когда условия (12.17) |
|
ограничивают конечное |
состояние. |
|
||
12.4. |
Задачи с |
параметрами |
|
|
Наряду |
с переменными, зависящими |
от дискретного аргумента, |
||
в задаче могут быть и параметры, подлежащие выбору и не завися
щие |
от |
£ |
. Эти параметры могут |
входить |
как |
ь |
целевую функцию |
||
J-0 |
, |
так |
и в уравнения связей |
и ограничения. |
Когда |
необходимые |
|||
уоловия оптимальности записывались для зависящих от |
L |
перемен |
|||||||
ных, |
производные функционала А ? |
ПО »У(- |
и |
tC' |
, которые |
должны |
|||
быть использованы в условиях оптимальности, превращались в произ
водные |
соответствующих слагаемых |
Q ( |
С |
, _У(- , |
, ^ |
) , так |
||
как в |
остальные |
слагаемые |
/S |
tXj |
и |
&t' не |
входят. Лля |
|
параметров же, не |
зависящих |
от с , |
уоловие |
оптимальности |
примет |
|||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь ' Q. - вектор параметров.