Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 98

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

w

Г а а в а Ш

8АДАЧИ ШШШХт С ПЕРЕМЕННЫМИ, 8АВИСЯЩШИ ОТ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

Задачи оптимизация многостадийных процессов, о которых шла речь в предыдущей главе, отличались от задач нелинейного прог­ раммирования ликв специфическим характером связей между отдель­

ными переменными. К ним можно было подходить о позиций

неявней-

зого программирования, так как оощее чиодо переменных

было к о ­

нечным или, во всякой оду чае, счетные.

 

Предотавляетоя заманчивым с тех же позиций подойти н к аада-

чаш, в которых

переменные

состояния S. в управления

tL за ­

висят оС непрерывного аргумента 4,

•

 

 

Первый путь,

который

кажется

естественным

овести

этот

новый класс задач к рассмотренным ранее. Для этого можно, напри­

мер, попытатьоя аппроксимировать непрерывные функции У.

(4

) м

К.

) ступенчатыми

и

или представить каждую иэ них

в форме разложения по системе

заранее выбранных функцией. В

этом случае переменными в задаче окажутся последовательности

коэффициентов

этих

рядов.

 

 

 

 

Не

отвергая

этот

подход

"о

порога", нужно отметить,

что

•

здесь наряду с

оптимизацией возникает проодема точности аппрок­

симации. Кроме

того, и это очень важно, можно упустить некоторые

 

J

особенности непрерывных вадач, принципиально отличающие их от задач нелинейного программирования.

Ниже мы попытаемся, не меняя природу непрерывных вадач опти­ мизации, максимально приблизить методы их исследования к мето­ дам, изложенным в предыдущих главах. Примем такую схему излокения.

Сначала рассмотрим довольно простую, иаопериыетрнческуо аадачу, для которой переход от ыаксимиаации функционала к макси­ мизации функции представляется наиболее естественный.

Затеи оооощим ату задачу и получим условия оптимальности для гораздо оолее универсальной формы задания связи неяду

переменными. Эту форму, аналогично п . 1 2 . 1 , назовем каноннчеокой,

Условия оптимальности для раэноооразных задач помучим как следствия из ооцих условий оптимальности для канона ческой формы связи.

Такой подход дает оольвув экономии в выкладках, связанных о вариацией предполагаемого решения в конкретных задачах, позво­

ляет

взглянуть

на необходимые а достаточные у еловая оптималь­

ности

с единой

точки зрения, а гневное, позволяет лытаяелю

негко

получить

такие условия

для многих вариантов задач, кото­

рые непосредственно в книге

не рассмотрены.

 

§ 18. Простейшая ваодерЕнетрачеокая 8адачв

1 8 . I . Постановка задача, необходимое уоловие оптимальности. Требув5ся найтн функции V ( ~t ) , доотавлящую верхнюю

грань функцнонаду.

т

(13.1)

ори уоловии

о

т

 

№

фигуры,

что

объясняет

название

такого

типа 8 а д а ч .

Получим

необходимые

условия

оптимальности

для задачи (18,1),

(13.2)

,

руководствуясь

1 логикой, которая

использовалась

в задаче

нелинейного

программирования. Напомним ее :

1.

множеотво L»

значений

вектора

У, с

которыми сравни­

валось предполагаемое решение (множество сравнения), выбиралось, таким, чтобы на зтом множестве целевая функция и функции, опре­ деляющие связи, могли быть линеаризованы с точностью до беско­ нечно малых второго порядка.

2. Условие оптимальности вытекало из того факта, что на мно­

жестве вариаций, не нарушающих уравнения овязи,

целевая

функция

не может расти. При зтом

предполагаемое решение

^*

не долж­

но было быть изолировано

на множестве Ь , Т.е.

размерность

вектора допустимых вариаций должна была совпадать с максималь­

ной размерностью вектора Ч€-Ъ

(условие общности положения).

 

Оба эти этапа наш предстоит провести для изопериметрйческоЁ

задачи. Прежде всего, каково должно быть множество сравнения

для

предполагаемого

реяения

Очевидно,

можно

сравнивать

 

•{

) о

щгнкцией

такой, что

|8#|

= ll4i-£j*|

для

любого

4

сколь угодно мала (риО.13.1). В этом

случае

функции J.o

и

\?

могут быть

линеаризованы по ^

в

окрестное-

ти

 

 

 

 

 

 

 

 

аналогично

121/

Паи приходится при этом предполагать не только непрерыв­

ность, но и дифференцируеыооть этих функций дважды, чтобы

при любой

нояно было для малых значений

j ^ j ограни­

читься двумя членами разложения в ряд Тэйлора. Кроме того,

оаын функции ^

и ^

. н е должны иметь

разрывов,

ибо в точке разрыве величина

не будет бесконечно

нала. Так что а класо довуотнмых решений придетоя суанть до куоочно-гладких функций. Если эта условия выполнены, то вариации функционалов

Потребуем, чтобы ^ * не являлась экотремалью функ­ ционала (условие общности положения), тогда,хотя бы для одного ~1 — ^

 

 

 

(18.8)

Будем проводить вариации

в

<5-окреотиости

двух

ыоиентов времени: произвольного

- / /

и упомянутого

вив 2^.]

Площадь этих вариаций обозначим

черва

овответ-

отвезно-

 

 

 

йа второго уравнения

f2S

Подставим е ю выражение в (13.4)

и подучим вариации функцио­

нала I на множестве вариации '^f/A

допуотимнк по уоловиян

(13.2)

 

Здеоь черва jl

обоаначеяо

(1Э.5)

Ът U8i9) РАЙДеТОЦ ТЗКро 9Двчеиве У . ЧТО В ТРЧДв

У^(-г: ) ыелоимтма йтнкпнонвда 1 поя згодовии ( 18.2)г дооти-

гае? бевтодоввого иакоиитяа на иножеотва U (Ьгнкшоиах

Дагравда.

Так как вариация

проводилась в <5- ожреетноотн

произвольной

точки

- ^ £ £ Ь , Т ] , то необходимое уоловне

оптимальности

означает,

что подинтегральное выражение

функционала о

для почтя

вовх

максимально

ао У

на множестве Ц

такой, что

Sup

/26

где

 

 

 

- сколь

угодно мало.

Подчеркнем,

что

условие

максимума

на L

/

 

I

•

^

 

(,

"ЗУ

/ ь г . - у '

^

(13.8)

при отсутствии ограничений совпадает с условиями стационарности.

 

Если функции

J0

и

У

содержат некоторый

параметр

О.

 

не

зависящий

от

^

i

и

условия оптимальности

по. атому

парамет­

ру

примут

вид

 

-

 

 

7"_^

 

 

 

 

 

 

 

Ц fe

 

 

 

*

о,

 

(

1 М

)

где, как

обычно,

 

QQ~

- допустимая

вариация

параметра.

 

(Докажите

это

самостоятельно).

 

 

 

 

 

 

 

Ясно, что полученные условия оптимальности страдают сущест­

венными недостатками: во-первых, они справедливы

лишь для

дваж­

ды дифференцируемых

по

^

функций У0

и J"

, во-вторых

 

множество

L,

 

представляет собой узкий

"шнур",

окружапций

оп­

тимальную траекторию. Это означает, что

удовлетворять

условиям

оптимальности

могут

несколько претендентов,

 

L С. Z).

 

 

Наконец, абсолютный максимум может достигаться и на кусочно-

 

непрерывной функции, а такие функции мы вообще исключили из

 

множества

допустимых

решений.

 

 

 

 

 

 

 

Оказывается,

однако,

что для данной задачи

перечисленных

не­

достатков можно избежать, использовав другой подход к получению условий оптимальности.

13.2. Необходимые

и достаточные условия

оптимальности

 

Наметим такую схему

получения условий оптимальности:

 

I .

Проведем расширение изопериметрической

запачи, очень

на­

поминающее переход от задачи нелинейного программирования к

за ­

дача

нелинейного программирования в среднем

( § 8) .

 

12 Г

Оптимальное значение

функционала 1р

в расширенной задаче

не

меньше, чем I (

</*

) в

исходной.

 

 

2. Заметим,

что решение

исходной

задачи среди множества

до­

пустимых решений может отсутствовать. Верхняя граница функцио­

нала I достигается в этом случав

на последовательности допусти­

мых решений

\£fn. j

i предел которой

не является допустимым.

Мы покажем,

что для изопериметрической

задачи всегда

можно най­

ти последовательность

fe/*-J <л а

которой значение I

стреми­

лось

бы к оптимальному

значению I

, а

величина функционала

стремилась

к нулю.

 

 

 

 

3.

Если

иэопериметрическая

задача имеет решение в классе

допустимых, т . е .. кусочно-непрерывных ограниченных функций,то

оно

являетоя решением расширенной задачи, и

 

 

£

{у

V -

 

 

efyJ

 

( х з . ю

Перейдем к реализации нсмеченной схемы,

 

 

А. Расширенная

изопериметрическая задача

 

 

Пусть для каждого момента

~£

вектор £f

ft J принадлежит

некоторому

замкнутому ограниченному

множеству

Уу

Расшире­

нием задачи ( 1 3 . I ) ,

(13.2)_будем называть задачу:

 

S"pTfi*S«p/j/JtyjPfyV^

 

 

( i 3 . i i )

 

 

 

P/v./J о

|/

 

 

 

 

при условиях^

 

 

 

v

 

 

 

 

%

- J

JJ&,#JP&,Oc/yc/4*0,

 

 

(13.12)

 

 

/У

J

P

&

^ J

^

- 'у

 

(13.13)

для

всех

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этой задаче находят такое распределение

вектора V

опрепеленное

на множестве

лля которого

интеграл

от сред­

него

значения .

 

был бы максимален, а интеграл от

среднего

Смотрите также файлы