Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 99
Скачиваний: 0
н?
Так, в задаче о максимуме целевоИ функции
со связями L ~ °
условие (12.28) примет вид
|
Ш*. |
"VP) |
|
^ - 2 ^ ^ , ( 1 2 . 2 9 ) |
||
так |
как в |
выражении (12.15) для Rcg второе |
слагаемое не зави |
|||
сит |
от Q. |
. Остальные |
условия |
дискретного |
принципа максимума |
|
останутся |
без изменений. |
|
|
|||
|
12.5. |
Задача на |
максимин |
|
|
|
|
Во многих |
реальных |
ситуациях |
требуется выбрать наилучшее |
||
решение в условиях неопределенности. Один из возможных подхо дов здесь - гарантировать наибольшее значение функции цедя при наихудшей ситуации. Такой весьма осторожный подход оправдан тем, что позволяет определить гарантированный выигрыш. Остановимся на задаче с целевой функцией вида
i
на |
множестве |
Z? |
значений |
переменных |
, |
, |
связанных |
между собой и ограниченных для с€ [о, п.]. |
Заметим, |
что эта задача |
|||||
эквивалентна |
задаче о максимуме параметра |
|
Q. |
|
|||
|
Sup Т = 2><*р <3- |
|
|
||||
нри |
условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
- J*(Ус, |
с ) < o i A O |
t |
f j . . л |
(12.30) |
ш
Таким обравон, мы пришли к |
задаче с параметром^, |
не завися |
|||||
щим от |
I |
, и ограничением |
(12.30). Так как задача |
содержит |
|||
параметр, |
воспользуемся |
функционалом / 2 |
, а не функцией |
R, |
|||
стоящей |
под знаком суммы |
в Л . Запишем |
функционал |
^2 |
, |
||
руководотвуяоь табл. |
1 2 . I . |
|
|
|
|||
Здесь |
при 0=1 соответствует |
ограничению (12.30), а |
остальные |
слагаемые другим связям и ограничениям, имеющимся |
|
в задаче. |
На знак последовательности |
j/, ^ н а л о ж е н о уоловие |
Так как параметр & входит только в S^q , и в максимизируе мый функционал, и на него не наложено ограничений, то необхо
димое условие оптимальности H=L - п приводит к равенству д о .
л |
|
|
|
|
Z |
У, |
> - |
I |
(12.31) |
Получение условий |
оптимальности |
по другим |
переменным не |
|
имеет никакой специфики по сравнению с обычной постановкой за дачи.
12.6. Достаточные условия и оценка решения Научившись составлять функционал Льгранка *2 и получать
необходимые условия локального максимума для разных сочетаний связей, попытаемся использовать этот ке подход для получения достаточных условий абсолютного максимума и оценки рещенип.
rrY
Рассматривая общую вадачу нелинейного программирования, мы сформулировали достаточные условия абсолютного макоимума
J-0 ( ^ ) на мнокеотве D как уоловия существования такой функции J{ ^ ) , что функция
|
|
G=Xfy)+S6?j/&) |
( I 2 . 8 2 ) |
|
достигает |
абсолютного максимума на множестве V-?D, |
причем |
||
*j |
и |
(пункт 6,6). функция (12.32) по структуре |
ничем не |
|
отличаетоя от функции Лагранжа, лишь множитель Jf |
принимается |
|||
88ВИ0ЯЩИМ |
ОТ |
< ^ . |
|
|
|
В чаотном |
случае, для задач, рассмотренных в атом парагра |
||
фе, все раооухдения § 6 оотаютоя справедливыми. Вместо функ
ционала |
/3 |
может быть ооставден расширенный функционал |
Лаг |
||||||
ранжа ^ |
» в |
котором |
множители j/t- |
нужно s-нменить на функ |
|||||
ции |
jf |
( i ,Uk |
I t |
i |
) . Причем для ооотавления |
этого |
|||
функционала |
можно |
воспользоваться |
табл. |
12.1. Схема |
|||||
использования достаточных условий та |
же, что и в |
задаче не |
|||||||
линейного программирования |
( |
.пункт |
7.7). |
|
|
||||
Разбивают переменные на овободные и зависимые и полбира- |
|||||||||
DT оУ{i,b(iUj) |
так, чтобы |
абсолютный макоимум |
aS по |
|
|||||
свободным переменным не зависел от остальных переменных. Боли такую функцию удалось найти точно, то получают решение, если приближенно - верхнюю оценку решения.
Покажем, что динамическое программирование также реализует
втот подход. Составим |
для задачи о максимуме цезд*вой функции |
||
(12.2) со |
связью в форме |
рекуррентного соотношения (12Л_8)_ |
|
функционал |
<£, считая |
jf |
функцией L и У[ . |
120
С учетом СЕЯЗИ (12.13) перепишем это выражение в форме
Здесь через ^ (^,У-{ ) обозначено |
скалярное произведе |
|
ние вектора У |
и вектор-функции |
( 0,31;) |
LfOXJ= |
jM<>Xi)*i |
(".SB) |
Требование к выбору,^/ (L У,-), а значит,и (-^ , заключаю щееся в том, что максимум S no KLi не должен зависеть от <У.~ , приводит к уравнению
совпадающему с уравнением Беллыана ( |
|
пункт |
ЭЛ). |
|
|
||||||||
Подчеркнем, что переход |
к функции |
^ |
по формуле |
(12.33) |
|||||||||
предполагает |
зависимость |
j |
|
только |
от |
I |
и |
У^ |
, связь |
||||
в форме рекуррентного соотношения, и, наконец, |
существование |
||||||||||||
скалярного произведения |
для векторов |
|
|
и Jli,^). |
|
После; |
|||||||
него допущения при подходе, изложенном |
в § 10, не требовалось. |
||||||||||||
В задаче со связями разного типа такой переход проделать |
|||||||||||||
нельзя, но получить верхнюю оценку решения или само решение |
|||||||||||||
через |
функционал |
S можно. При это;.;, |
вообще |
говоря,нз |
тре |
||||||||
буется дифференцируемости |
J-^ |
и функций, |
определяющих |
сьязи, |
|||||||||
по совокупности переменных, множество допустимых |
значений V x |
||||||||||||
или |
\ ^ |
может |
состоять |
из |
изолированных |
точек |
и т . д . |
|
|||||