Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

Выполнив аналогичные преобразования выражения (1.177), полу­ чим

Здесь Qi и Q2 — некоторые функции a, не влияющие на особенности выражения (1.178). Поперечная волна при указанном условии име­ ет на полусфере

Поле смещения головной волны вблизи своего фронта непре­ рывно, что видно из (1.180). Общим слагаемым для однородной и не­ однородной среды является выражение

cos аср + sin аф ,

которое можно получить из (1.180). Производная от (1.180) испыты­ вает конечный разрыв при переходе через коническую поверхность

дой волны имеет те же особенности, что и первая [20].

47

Г л а в а в т о р а я

ДИНАМИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА ОДНОПРОЛЕТНЫЕ БАЛКИ

Колебания невесомой балки под действием груза, движущегося с постоянной и переменной скоростью

Задача о динамическом воздействии на балку (рис. 4) сосредото­ ченного груза, перемещающегося по ней с постоянной скоростью, может быть решена путем введения тех или иных упрощающих предположений. Допустим, что масса движущегося груза велика по сравнению с массой балки. Тогда, пренебрегая инерцией балки, т. е. рассматривая ее как невесомую, приходим к так называемому случаю Стокса.

Прогиб балки под грузом при любом его положении в пролете пропорционален динамическому давлению Рд, которое катящийся груз оказывает на балку. Этот про­

груза в пролете; I — длина балки. Давление Рд в случае безотрыв­ ного движения груза по балке состоит из силы веса Р0 и силы инер­ ции при поперечных колебаниях груза вместе с балкой:

Приведем это уравнение к безразмерно^' виду. Для этого поло­ жим п = \1 и введем коэффициент динамичности прогиба г (£., ';)

48

статический прогиб от силы, приложенной посередине. Уравнение (2.3) примет вид

Для случая колебаний балки с учетом ее инерции далее будут ис­ пользованы безразмерные параметры ^

(2.4)

Р - Flpg

где F — площадь поперечного сечения балки; р — удельная плот­ ность ее материала. Первый из них характеризует скорость груза и представляет собой отношение периода основного тона колебаний балки к удвоенному времени, необходимому для того, чтобы груз прошел весь пролет балки; второй характеризует отношение масс груза и балки. Заметим, что а 2р — безразмерная величина, не за­ висящая от веса балки. С учетом параметров (2.4), введенных для удобства сравнения со случаем весомой балки, уравнение Стокса (2.3) примет вид

где v = ®l/nv. В правой части этого уравнения добавлен член, характеризующий воздействие пульсирующей силы G sin о t, дви­ жущейся вместе с грузом. Когда груз находится на расстоянии г| от левой опоры, реакция последней Rn = Рд (1 — g), а изгибаю­ щий момент в сечении под грузом

Пусть Од — динамические напряжения; а0 — наибольшее ста­ тическое напряжение от силы Р 0 посредине балки; а — коэффициент динамичности относительно а0; W — момент сопротивления балки. Тогда Од (g, g) = 0оа (g, g) = M /W , a0 = P0l/iW . Подставив зна­ чение M из (2.6), получим коэффициент динамичности напряжений

уравнению с постоянными коэффициентами и решено без затруд­ нений. Однако полученное таким способом решение неудобно для вычислений. Будем решать уравнение (2.5) численно, интегрируя

При вычислениях по схеме Адамса возникает необходимость

разложение решения уравнения (2.5) в степенной ряд в начале ко­ ординат 2 = I 2 (1 — i)2 (cq + c-fc + с212 + •••)• Подставив это зна­ чение в уравнение (2.5) и приравняв коэффициенты при одинаковых

получим

я4

и система (2.9) дополняется еще одним уравнением:

/ г ( ° ) з + 2а 2р я 2 ‘

При расчете на ЭВМ интервал изменения независимой переменной х (0, 1} разбивается на 1000 участков. Расчет дает четыре точные значащие цифры, в чем можно убедиться, подсчитав с удвоенной точностью.

В табл. 4 приведены величины максимальных коэффициентов динамичности прогибов г (£, |) и напряжений о (§, |) по Стоксу,

60