Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 73

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Решение системы уравнений (1.164) при нулевых начальных данных должно удовлетворять следующим граничным условиям:

<ТЫ = Ф (Г> 0>

°гг = 0,

2 = 0.

(1.165)

Предполагаем, что функция Ф (г,

t) задается в виде

 

где

Ф (г, t) =

 

h(t)R (r),

 

(1.166)

 

 

 

 

оо

 

O+too

 

 

 

 

=

J A{p)ef*dp,

 

R (t) =

~

^ Т (a) J„(ar) da.

O—iоо

 

 

 

О

 

Ищем решение

системы (1.164)

методом

неполного

разделения

переменных. На обосновании полученных решений останавливаться не будем, так как подобные вопросы обсуждались в работе [38]. Искомые функции берем в виде

со (7-j-ioo

lF„ = ( Sn (z, t, a) J 0 (ar) da, Sn =

j Bn (z, a, p) eP‘dp (1.167)

6

Q—ioо

(n =

1, 2).

После подстановки (1.167) в уравнения (1.164) в предположе­ нии возможности дифференцирования под знаками интегралов получим уравнение для нахождения функций Вп:

d*Bn

2a

dBn

а 2 +

5 = 0 .

dz2

8

dz

 

 

откуда

 

 

 

 

Вп = Cns~] exp (— z V а 2 + P2/vl)

(п = 1, 2).

Граничные условия (1.165) и (1.163) приводят к системе урав­

нений для определения постоянных

Сх и С2:

 

 

 

С Л ё + т ) + С ,а{2 ц + Щ = Щ ^ Р , |

 

Сг (2& +

Р) +

С2 (g + Рт]) а =' 0,

 

(

 

g =

2 +

С2,

l = p!av^,

k =

V 1

+ £ 3/3,

 

 

Л =

V 1 + I2,

Р =

а!а.

 

 

 

 

Весовые функции /2 и flt

входящие в (1.163),

имеют вид = /2 =

= в = az -}-

1.

Определяя

постоянные

из

(1.168) и подставляя

их в (1.167),

а потом в (1.163),

находим смещения

 

 

 

 

< j+ f e o

 

 

р-П) е -zak

■4(2k + Р) в—гат] . galtVtdrrfn

е ’оа

 

 

I

(g +

4л2ц01

 

 

 

 

Л- 1 (О Т - '

(а) /г (t, Р)

(1.169)

 

 

 

а—too

 

 

 

 

 

 

 

 

а+ioo

(g-

■Рд) ke~zak— (2k - ■Р) ё—гаЛ

 

“ . = т г й г 1 - '" (“ г) i

-e“&°>d£da,

 

л — 1 (О Г -1 (а) Д й , Р)

 

 

 

 

 

а—/со

 

 

 

 

 

 

 

42

где R (£, p) = (2rj + 3P) (2k + p) - (g + рл) (g + 3pft). Для на­ хождения смещений в случае единичной силы, приложенной на границе полупространства, необходимо в формулах (1.169) поло­ жить А (£) = 1 /£и2ос, Т (а) = ос. Приравняв нулю выражение для R (£, Р), получим уравнение Рэлея для изучаемой упругой среды:

ЖЕ, Р) = Р (Л + 3&) £2 — (4 — ЗР2) - f g2 — ЗР2 = 0 . (1.170)

При р = 0 уравнение (1.170) переходит в обычное уравнение Рэлея.

Легко

видеть,

что

(1.170) имеет двойной нулевой корень. Общее

число корней

можно найти по принципу аргумента. Ветви ради­

калов

фиксируем

условием arg У 1 + mg2 =

при Im £ > т~1

(т = 1, 1/3). Опуская детали рассуждений, приведем окончатель­ ный результат. Кроме двух нулевых корней на фиксирован­ ной римановой поверхности существует еще два чисто мнимых сопряженных корня при изменении а в полуинтервале

[а ( У 6 + 31/2), оо]. При ос —>- оо пределом нулевых корней явля­ ются обычные рэлеевские корни я (в данном случае я = 0,921). Ненулевые корни по модулю изменяются от я до единицы и могут быть записаны так: t = ± [я + р/ (Р)3 с.

Теперь представим смещения в (1.169) в виде вычетов в полюсах подынтегральных функций и интегралов по берегам разрезов,

проведенных по мнимой оси от точек ± i до ±оос.

Вычет в нулевом

полюсе

равен

нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смещения,

отвечающие вычетам в корнях ± т

уравнения (1.170)

запишутся

в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8-1

Л (a r ) t(g + N ) е

агк ~~ л(2& +

р) е агт|1 cos 8

doc,

 

 

f*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q r

~ ~

1 1о J

 

 

 

 

t 2R' (Р,

т)

 

 

 

Ц

0

 

 

 

 

 

 

(1.171)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в" 1

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W r

=

Г J 0 (ar) [k (g +

Рц) e~~azk — (2k +

P) e~~azr]] cos 6 da.

 

 

П|10 J

 

 

 

 

x2R' (P,

T)

 

 

 

где

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R’ (P,

t)

=

p

-

+

-

k

— 2 (r) + 3&) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T) ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

^

+

Д г Н 4 — 3И — 4g,

 

 

 

k =

V l

+

Т2/3,

n =

V 1 - f T2,

g = 2 + T2,

0 = v2tm .

В выражениях (1.171) легко выделить члены, общие для одно­

родных и неоднородных сред.

Сделаем это только для qR:

 

 

 

4r =

 

 

 

 

(ge~azk — 2kf\e аг11) cos 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТсW

 

 

43

+

т2R' (р,

(Мге

а2к — М2е “2T1) cos 0

da,

 

т)

 

 

 

 

 

Л/ = A

-i_ .Л ____е .

(1.172)

 

 

ц

^ 3k

®

 

Здесь М г и М 2 — некоторые функции а ,

вид которых легко восста­

новить делением числителя на знаменатель в первом выражении

(1.171) .

Первое слагаемое в (1.172) отличается от соответствующего вы­ ражения для однородной среды только значением корня [38]. Второе слагаемое в случае однородной среды исчезает. Разложив радикалы по обратным степеням а и воспользовавшись второй тео­ ремой о среднем значении, можно выделить из первого слагаемого (1.172) член, определяющий особенность волн Рэлея на поверхно­ сти 2 = 0. Эта особенность такого же типа, как и в случае однород­ ной среды. В точках г = vrI на поверхности полупространства сме­ щение становится бесконечным ( v r — v2 1т |— скорость волн Рэлея).

Приведем интегралы по берегам разрезов, отвечающие продоль­ ным и поперечным волнам (интегрирование ведется по действи­ тельному параметру /):

/Уз

 

1

С ,

С

(26+ р )[т)6(4 -3^ ) + |Зг1/2]С(т1)Л

 

 

о

 

ч

 

 

/Р(рП)

Уз

 

 

 

 

 

 

 

 

Р)] S, (4) +

2k [g cos 0 — Рч sin 6] D (/) e~“2* dl

j (2fe+P) [g — ЗР (kP

 

 

 

 

 

IP (P,

1)

+

 

 

 

 

 

 

+ I

В U) [2kC (4 ) -

PS (Tp]

+ рЛ (l) P

fPC (4 ) + 2kS (4)1 dl

 

 

 

 

IQ (P,

l)

 

k [C (k) -

Рч-S (ft)] B(l) — k [РчС (ft) +

gS (ft)] РЛ (l) P dl\da, (1.173)

 

 

 

 

IQ(P. 1)

 

 

___ 1_

DO

 

( У З

4 (2fe + P) (g2 — зр/3 —ЗР2) С (ч) dl

C

J

Г

 

2nV0

J

1 (

П J

 

 

IP (P. 1)

 

 

о

 

11

 

 

 

4 (2k + P) D (/) S 1 (ч) — 2 (g cos 0 — рч sin 0) D (l) e~a2fc di

IP (P, /)

Чв (l) [ p c (4 ) + 2kSl (4 )1 + 4РЛ (l) P [2kC, (4 ) - p s t (4)1dl

IQ(p, l)

В (l) [РчС, (k) + gS1 (k)\ + PA (l) P [gCt (k) + Рч-S, (fe)J

dl\da,

IQ(P, l)

44

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С (р) =

cos омр + cos аф,

 

S (ri) =

sin аф - f sin ctip,

Сг (rj) =

cos аф — cos аф,

 

(p) =

sin аф — sin аф,

C (k) =

cos афх -f- cos афь

S (k) = sin афх -f- sin афь

Cj (k) =

cos mp1— cos афь

S x (k) =

sin аф! — sin аф1э

Ф =

V2tl +

zp,

ф =

v jl — zp,

A (/) = p -f зр,

фх =

v2tl - f

zk,

фх =

V2t l

zk,

T) = У l2

1,

<2 Ф,

0

=

h k (4 -

3p2) + g2-

3|32]2 + P2 (p +

3k f l\

Р ф ,

0

=

Ш2-

m

i 2-

m

2 +

T)2 [p/2 + k (4 -

3P2)]2,

В (l) =

р/г (4 — ЗР2) + g2— ЗР2,

D (Г) = р/г (4 — ЗР2) + PV2,

k = V\ — l2/3

(/ < l/ 3 ),

* = К /2/3 — 1 (/>|/3).

При р = 0

формулы

(1.173) принимают вид (14.3) работы [38].

Исследуем асимптотическим методом особенности поля смеще­ ний вблизи фронтов упругих волн. Поле смещений представим в виде двух векторов, каждый из которых состоит из трех слагае­

мых: ир = ир0 -[- иРу + Up#, u s = usо 4* Usi + Usr.

Последние сла­

гаемые — это составляющие волны Рэлея, которые

уже рассматри­

вались.

 

Для получения главного члена в асимптотическом представле­ нии составляющих поля вблизи фронтов воспользуемся методом перевала, особенности применения которого к динамическим за­ дачам теории упругости подробно изложены в работах [37, 38]. Не будем останавливаться на переходе от контуров Меллина к стационарным контурам, так как седловые точки и фазовые функции имеют тот же вид, что и в работах [33, 37 ] с учетом условия Х0 —

— ц0. Нижний предел интегрирования выберем при выполнении условий

 

 

 

< V > 1,

 

 

Продольная

волна иро. Составляющая хюро вектора иро

имеет

вид

со

 

 

 

 

 

 

аф + cos аф) + g (sin аф + cos аф)

 

wPo =

А j

м

рТ|(sin

 

а/С (Р, б)

 

 

 

 

 

 

 

 

+

fW

g (sin аф + cos аф) — [ip (sin аф + cos аф)

da,

(1.174)

 

 

аК (Р, б)

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

М = р/г(4 — ЗР2) + g — Зр2, N = рб2 (р + Щ ,

 

 

 

 

К = Мг — №, g = 2 — б2,

 

 

 

ф =

(p\t2—■z2)I/2 + г, ф =

 

 

6 =

± V

V 3 i {v\t2 — z2)~1/2

 

 

4 5

А = z2r~,/2 (2n2li 0v1f

(v\t2 — z2) - 3/i,

k = (62/3 — l)m .

Для определения особенностей поля смещений вблизи фронта продольной волны необходимо подынтегральную функцию (1.174) представить в другом виде, выделив в отдельное слагаемое члены, не содержащие постоянного параметра:

wpo =

sin ои|) + cos aqp

da +

 

а

 

 

 

 

{Mr\ + Ng) (sin acp +

cos ai|)) — Nr] (sin ои|) + cos a(p) 8 (a)

daj .

 

a /<(p, 6)

 

 

(1.175)

Здесь 0 (a) — некоторая функция a, вид которой легко восста­ новить делением слагаемого в (1.174) на знаменатель. Особенности поля смещений продольной волны определяются первым интегра­ лом. Он имеет конечный разрыв на полусфере

v\t2— z2 — г2,

 

(1.176)

так как интеграл

 

 

 

00

оо

sin к

 

da =

sign j

d l

~ к~

a„

a0|i|>|

 

 

испытывает скачок, равный л, при переходе через поверхность (1.176). Второй интеграл в (1.175) непрерывный и в случае однород­ ной среды исчезает.

Поперечная волна uso• Необходимо различать два случая, так как седловые точки b = ± v2ti (v\t2 — z2)~^‘ могут находиться как

внутри, так и вне промежутка [—У 3 i, 1^3 г ]. Пусть |Ь\ «< У 3. Главным членом составляющей ws0 волны us0 в асимптотическом представлении является выражение

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о Г

2 ri +

В

/ _,

sina/i— cos as

„

cos ah + sin as \ ,

,, 17 7 ,

Ws0^ B )

- B

)

[

C 2

----------s --------------

---------------

 

£

-------- ) d a '

(U 7 7 )

“ о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R (b) =

[g2 — З Щ 2— 3P2]2 +

(b2— 1) [pb2 +

k (4 — 3P2)]2,

 

h — (t2v\---

22)I/2 — r2,

s — (t2v\— г2)1/2 -j- r2,

 

 

 

 

g = 2 — b2, C1 =

g2 — З Щ 2 — 3p2,

 

 

 

C2 =

ri 0b2 + k (4 - ЗР2)],

г) =

(1 — Ь2)щ ,

 

В =

z (v^t2— г2)~щ |IT 21(2яр0 V n ry \

k =

{\— b2/3)1/2.

46

Смотрите также файлы