Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

ч

+

4 -

f

fi (X) cos ^ ( ц — Х

dX,

(2.30)

Hi

J

1 Щ ^ Г ~

= К Л Ъ )+ }Г \U{X)dX.

Разобьем промежуток интегрирования l на n равных участков.

Длина участка т =

l/п. Запишем уравнения (2.25), (2.28) и (2.30)

для конца первого

участка:

1

qi (т) = j

ft (X) sin kt (т — X) dX,

0

т

U =

т г ffi (Я) cos ki (T ~

A) dK

(2.31)

X

:

z (T> T) =

-jT 61 (T —

u M d X ’

/^ b _ r p l

i L l d l

dr]

|t,=t

l J

'

Для вычисления на втором участке т <

ц <

2т положим b = т

участка, найдем А( (т), В,

(т),

К г (т) и К 2 (т), которые теперь бу­

дут отличными от нуля.

Для г] =

2т получим

qt (2т) =

Л; (т) cos kflx -f- В, (т) sin kt2x +

2т

+

~г\

fi М sin ki (2т — я,) с&,

2т

z (2т,

2т) =

(т)

+

К 2 (т) + ~

j

(2т — X)U (X) dX.

Аналогично

запишутся

-~ -

1

dz

и I —г~

Положив й =

2т,

можно

Ч1=2т

■П=2х

получить произвольные

постоянные для

третьего участка и т. д.

Таким образом, приходим к рекуррентным соотношениям на

каждом шаге.

Запишем их для т] = т т + т:

qt (/пт т) =

Л^ (тт) cos k t (тх + т) - f

:

тх-\-х

I

+

В г (тх) sin kt (тх - f т) +

-jr

( fi (Я) sin kt {тх +

т — X) dX,

l

п Сп)

=

— А; (тт) sin ki (тх +

т) +

ki

г)=/!гг-(-т

-f- В i (/пт) cos kt (mx + t ) + -jr

j

ft (Ц cos k, 'mx -ф т — Я) dX,

1

rnx

(2.32)

г (mx +

т,

mx +

x) =

m%^~r

/Сг (mx) +

^ 2

imx) +

mx+%

+ - i-

J

(mx +

x — X)U(X)dX,

mx

t dz (г],

г])

m x + x

= K i (mx) -+- -j-

j

£/(Я)<&,

dri

г(=тт+т

mx

где

Ai (mx) =

qt (mx) cos ktmx ■

1

dq{

x\=mx sin k(mx,

ki

dr\

B t (mx) =

q{ (mx) sin k tmx -f- ~

dqi

cos ktmx,

ki

dt]

T|=mx

(2.33)

Kx (mx) =

/

T]—m x

K2 (mx) =

2t,=,

ml

dz

7Г ~dif

T,=mx

x\=mx

Выберем длину участка x так,

чтобы функцию f t

(т])

из (2.24),

как

медленно

изменяющуюся по сравнению с sin

kt

(ц — X) и

cos

kt (т] — Я.) можно

было считать в

этом интервале постоянной,

тх ■< г) < ; тх +

т

2а2Р

п (л) =

я2

U т +\ +

(а /)2

я 2

,

G

.

vn (2тт + т)

sin in (2тх + т)

(2.34)

+

- P 7 sm -------

21

где Um+1, /* (т]) — средние значения

функций U (г])

и ft (ц). Вы­

числив интегралы и приняв во внимание, что х/1 =

1/я, из (2.32)

получим

4i (тх +

х) = Л, (тх) cos—

(т + 1) +

+

В, (тх) sin ~

( т - f

1) +

Д ,т+1 [1 — с (/')],

1

dgl

I

=

— At (тх) sin i'2я (m+ 1)

+

ki

d'f]

|п=тт-(-т

an

(2.35)

В; (mx) cos

г2я (m +

1)

+

+

Ftjn+iS (i),

a n

г (Л>

Л) |ч=тт+т —

от+ 1 Кх (mi) +

К 2 (тт) +

Um+U

dz

= Кх (тт) + — U,m+1,

ёц

П=тт+х

где

2 а !(3

Fi,m+1

= -м

(Лп-f-l “Ь

+

-n -s in

vji (2т -f- 1) sin

in (2т +

1)

(2.36)

2л

2л

с (г) = cos

fat

,..

. 13Л

ал ;

S (I) =

sin ------ .

' '

ап

qt (тт)

= М (г, ш);

1

dqt

= (V (г, т ),

ki

dr| П^тт

(2.37)

2 (Т|, Л)

1л=тт = Q И ; -L -% .

= /?(т).

г)=тт

M (i,

т +

1) =

М (i,

т) с (0 + N (г,

т) s (i) +

Fi<m+l [1— с (i)],

N (i,

m -f

1) =

iV (i,

m) c (i) — M (t,

m) s (i) +

FiMl+iS (i),

Q (m +

1) =

Q (m) -j- R (m) -f-

^ (m +

1) =

R (m) -f-

i/m+i,

где Fi,m+i

берется

из (2.36). Очевидно,

что при m =

О

(2.38)

Л4 (t,

0) =

Л( (t, 0) = Q (0) =

R (0) = 0.

(2.39)

Запишем теперь коэффициент динамичности под грузом в виде

2 (л. л) = 2 > Л л )5т ^ .

i

Для л =

т т

+

т, использовав обозначения (2.37),

получим

Q (т +

1) =

^ М (t, m +

1) sin

(т^+

1}

.

(2.40)

i

Подставляя в (2.40)

значения Q (т +

1) и М (i, m +

1) и выделяя

Um+ и приходим к уравнению для его определения:

u,

+

2а 2В ■tp

.

in

(rr

-t- 1)

2л2

- w - Z aimSm —

“л

i

vn (2m +

1)

aim + м

(I, m) c (i) + N (t, m) s

*)} X

2h

X sin --- ---

+ ^------Q (m) — R (m),

(2.41)

М (1,

1), N (i ,

1), Q (1), R (1). После подстановки этих величин в

(2.41)

находим

1!г. Вычисление заканчивается при т = п — 1.

z(mx + x, x) =

^ M ( i,

т + l ) s i n - ^ - .

(2.42)

Q (т +

i

Отметим, что

1)

определяет коэффициент динамичности

перемещений под грузом при т] =

т т

+ т.

Динамические

напряжения в

балке

aA{t,

X) =

El

дггп (t, х)

Г

дзё

’

где W — момент сопротивления балки.

Примем Од =

<т0аг (/, х),

где а0

=

Р i

статиче­

-----------наибольшее

О (Т|, X ) = - Л

г

2 ^

ft) sin ~ 1 —»

(2-43)

или при Т1 = т т

+

т

i

а (тт +

т,

х) =

^

р м

(В m + 1) sin

,

(2.44)

р л (Л) = р ор (Л) = Р о

2а2Р

(2.45)

m л)

равенства

наибольших статических прогибов середины моста:

Р 0 = суСТ.

Затем определяется

жесткость и

плотность единицы

длины пролетного строения

E I

Рп13

Fp =

Т02п*Е1

w ~

и находятся безразмерные параметры

vl

ро

п

р = Fplg

•