Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 71

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

координаты

у)

 

 

а2

,

а2

.

0

 

,,

т - г + -зз- +

2т th тг

дх2

1

dz2

1

 

 

 

 

 

 

 

а2

+,

а2

 

 

 

" а ^ - "Г" "fe2"

 

 

 

(•

 

 

 

а

 

-2 а2 \ *

п,

а2Ф,

 

-к- ■

•oi

 

— 2km

дх2

= О, (1.155)

йг

 

 

.

„ ,,

а

. оГ^ | ф 1 =

0,

+

2mthmz-

дг

^

 

 

w* dt2

 

 

где Фх и Ф2 связаны с векторными смещениями зависимостями

M l = V (ЛФх), / Д

= v х liyh Щ

■

(1-156)

Весовые функции fx и /2 зависят от 2 и в данном случае имеют

вид fj = ch тг, /2 = ектг ch mz.

Постоянная т

характеризуется

зависимостью параметров Ламе от переменной г.

При т =

0 полу­

чаем среду с постоянными параметрами, уравнения движения пере­ ходят в обычные уравнения, весовые функции превращаются в

постоянные, равные единице.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим уравнения (1.155) в подвижной

системе

коорди­

нат,

в которой осьОу движется в направлении оси Ох со скоростью с,

меньшей скорости волн сдвига. Введем новые переменные:

г = тг,

s = х — ct.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В новых переменных уравнения (1.155)

примут вид

 

 

 

 

 

а 2

+

^

 

- +

2 th 8 - 5 r l ° i “

2k

а2Ф,

=

0,

 

 

 

 

as2

 

 

 

as2

 

 

 

 

 

 

j

2

a2

 

 

 

 

 

Ф2

=

0,

 

 

 

 

 

 

m2

ds2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

=

1

 

,

P2 =

l

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U1

 

 

 

 

 

 

 

Решения уравнений, ограниченные при е ->

—

оо,

запишем в

виде

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г . , р

.

SkBe1*

, 1

elas .

 

 

 

 

 

 

 

Ф! = f

Де

 

m /л<а

w2\

r.vi о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m (у2 — ц2)

ch 8

 

 

 

 

(1.157)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gg4e+<as

С?а ( , 2 = 1 ■ ^

 

 

1 +

а гу2

 

 

 

ф , - [

ch 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Использовав (1.156), найдем скалярные смещения и напряже­

ния,

выделив действительные части:

 

 

 

 

 

 

 

_

Г sin as

 

 

 

 

 

 

2ka2

 

 

 

 

 

 

 

1

АебЁ +

Ве"г

 

 

•m

(t) +

6))] da,

 

 

~ ~

J

che

 

 

 

 

 

m

(б2 — ц2)

 

 

 

 

 

 

 

и* =

j

СГ

{Mme&e+ Be"e ( - g r r ^ r — l ) « 2] d a >

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

за

со

 

 

 

 

 

a s = jaj*

c°^”s |Ae6s [3m26 (8 — th e) — a 2} +

 

 

 

+ Be^ a 2m (t) -j- k) -

 

2ka4

\(1Л58)

 

 

 

 

 

 

tn(62 — T]2)

 

 

 

 

 

 

 

2k

^

— 1J (th e — T|)

da,

 

 

— Зта21 62 _

oo

 

 

 

 

 

Г

a

| J f i- | A * / n ( 2 6 - t h e )

+

 

 

Tes — pi J

 

 

 

+ Be^

2ka2

 

 

 

62 — T)2■(2r)-—the) — m2 (r) +

k) (r) — the) — a 2

d a.

Рассмотрим пластину толщиной 2H, покоющуюся на упругом полупространстве, свойства которого рассмотрены выше. По ее поверхности движется постоянная нагрузка со скоростью с, мень­ шей скорости волн сдвига в полупространстве. Контакт пластины и полупространства предполагается скользящий, т. е. касательные напряжения на соприкасающихся поверхностях приняты равными нулю. Начало координат расположено в срединной плоскости пла­ стины и ось Oz направлена вверх. Запишем уравнения теории пла­ стин, учитывающие инерцию вращения и поперечный сдвиг:

2G

рс2

дЮ

т = О,

 

 

1 — v

ds2

 

 

2Н (уЛ - рс2)

 

- 2xGH ~

~ p = F (s),

(1.159)

} Я 3 (Т ^ -

-

РС2Г

) « -

2ХСЯ

dW

х) — Ят = О,

 

 

 

 

 

ds

 

где W и U — вертикальные и горизонтальные смещения срединной плоскости пластины; X — вращение поперечного сечения пластины, X = X0ae‘“s; G, р — модуль сдвига и плотность пластины; р, т — вертикальное и касательные напряжения в пластине; F (s) — внеш­ няя нагрузка пластины; Т равно единице при учете инерции враще­ ния и нулю, когда она не учитывается; к — модуль поперечного сдвига Тимошенко.

Перенесем начало координат из поверхности полупространства в срединную плоскость пластины. Для этого в выражениях (1.158)

нужно положить

 

8 = 1 + Н ,

(1.160)

но для простоты записи оставим их в

прежнем виде, подразуме­

вая (1.160). Запишем условия скользящего контакта пластины и

39

полупространства (s = 0, £ = — Я):

а8 (s, — Я) =

р (s),

мЁ (s,

— Н) — W (s),

Tes (s> — Я

= 0,

т (s,

— Я) =

0.

Для определения трех постоянных z^,

Х0

запишем три урав­

нения, два из которых получены из системы (1.159), третье выте­

кает из условия тЁ8

(s,

— Я ) =

0

(при этом используем

интеграль­

ное представление б-функции в выражении для внешней

нагрузки):

F =

f 06 (х — ct) = F0б (s) =

j

cos (as) da,

 

 

 

 

 

 

AkazT\

■tnЛ (r) +

k) — a 2

= 0 ,

 

 

 

26mA 4- В 82 -- ^2

 

 

 

H xG

H2m a2

X0 — xGH

АЬт

+ В

2km

l a 2

i = 0,

 

 

82 — ri2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) ----- + 2ka?

 

(1.161)

•[p0 (3m262— a 2) +

2 Я Я а 2] A +

m (r) +

 

 

+

 

2kr\

 

1) (3mrj — 2H N a2) В — 2xGHa2X0i

10

 

§2 -- ^2

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

Я

 

N — xG — pc2,

M

 

2G

 

•pc27\

 

 

 

 

 

 

1 —

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определяя А, В из системы (1.161)

и подставляя их

в выраже­

ния для ст8 и ые, при £ =

—Я

находим

 

 

 

 

 

 

/ч _

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_Мч|_ Г __________ B F ncos (as) rfa___________

 

 

 

” '

'

я

J

jx0/? +

2bma2H [m2ri (4 +

6) — a 2] Q

’

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6F 0 fm2t| (r) +

k) — a 2] cos (as) da

9

 

 

 

 

 

 

iV? -f- 2bma.2H [m2T] (i) +

Й) — a 2] Q

 

 

 

 

 

n _

 

(xG)2

 

N,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xG — # 2a 2M/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R =

[3m262 — a 2]

4£a2T]

m2t] (i) - f &) — a 2

 

 

 

62 — T)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 2/n6

m (r) - f Й) a 2 — 3mr\a2

 

2£a2 (a 2 — 3m2r|2)

 

 

 

 

m (62 — r|2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полагая R =

0,

получаем уравнение для волн Рэлея в упругой

среде, свойства которой определяются выражением (1.154). Легко проверить, что при т — 0 оно переходит в обычное выражение для волн Рэлея.

Полученные выражения позволяют исследовать влияние пара­ метра т на вертикальные смещения и напряжения в пластине.

40

При т = 0 среда имеет постоянные параметры и выражения для р и W отвечают значениям, полученным другими авторами для клас­

сических сред. При движении нагрузки со скоростью волн

Рэлея

в полупространстве напряжение в пластине равно нулю.

При

т -*- оо получаем жесткую среду и, как и следовало ожидать в рамках принятой теории пластин, вертикальные смещения средин­ ной плоскости равны нулю. В этом случае нормальное напряже­ ние в пластине полностью определяется внешней нагрузкой.

Колебания упругого полупространства с квадратичной зависимостью параметров Ламе от глубины

Рассмотрим случай 3 (см. стр. 36). Дифференциальное уравнение (1.145) имеет решение

р = р0 (az + l^+'/v-^

где р0 — модуль сдвига на границе полупространства; а — коэф­ фициент, влияющий на закон изменения р по глубине. Из урав­ нения (1.150а) при Й = 0 следует

4 J T - ( v + i ) t = ° ’

т. е.

Обозначим

 

Р =

Ро (az +

О4/V-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

^0ev, p = p 0e'v

I v —

Y + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

У — 1

 

р = р°е“, e = a z + l (со =

4

 

 

У— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда уравнения движения

имеют

вид

 

 

 

4а

 

dz

2а2 (3 — у)

 

2 _а2 ]

= о

(V — 1) е

(у— 1)282

п

д Р

г »

’

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.162)

2_

'

2р„

 

 

 

(Я =

1,

2).

vf =

 

Ро

Vl2 = ~Ро-

 

 

 

 

 

 

 

Функция ¥ „ и смещения и связаны зависимостями

/ А =

V (/,¥,),

/2ц2 =

V

х (1ф/2д ¥ 2/дг),

 

 

и = их +

и2.

 

 

 

(1.163)

 

 

 

 

 

 

Весовые функции /у и /2 зависят только от z; вектор гф— единич­ ный. Будем рассматривать среду, для которой %0 = р0. При этом у = 3 и уравнения (1.162) упрощаются и принимают вид

2а

д

_ 2

д2 \

т а = о.

(1.164)

е

дг

V'1

at2 J

41

Смотрите также файлы